Question

Las rectas $HK$ y $BC$ están en un mismo plano. $M$ es el punto medio del segmento $BC,$ y $BH$ y $CK$ son perpendiculares a $HK.$ Entonces:

Lines $HK$ and $BC$ lie in a plane. $M$ is the midpoint of line segment $BC,$ and $BH$ and $CK$ are perpendicular to $HK.$ Then we:

siempre se cumple $MH=MK$

always have $MH=MK$

siempre se cumple $MH\gt BK$

always have $MH\gt BK$

a veces se cumple $MH=MK$ , pero no siempre

sometimes have $MH=MK$ but not always

siempre se cumple $MH\gt MB$

always have $MH\gt MB$

siempre se cumple $BH\lt BC$

always have $BH\lt BC$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica punto medio mediatriz

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca $HK$ sobre el eje $x$

Put $HK$ on the $x$ -axis

Pista grande:

Usa $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0)$ y $C=(k,v)$ ; compara los cuadrados de las distancias desde su punto medio

Use $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0),$ and $C=(k,v)$ ; compare squared distances from their midpoint

Solución:

Elige las coordenadas $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Entonces $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ Los desplazamientos horizontales de $M$ a $H$ y $K$ son opuestos, mientras que los desplazamientos verticales son iguales. Por lo tanto, $MH^2=MK^2,$ de modo que siempre $MH=MK$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Choose coordinates $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Then $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ The horizontal displacements from $M$ to $H$ and $K$ are opposites, while the vertical displacements are equal. Therefore $MH^2=MK^2,$ so $MH=MK$ always.

Therefore, the correct answer is A.

1970 AMC 12 Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años