Question

Si $a=\frac12$ y $(a+1)(b+1)=2,$ entonces la medida en radianes de $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ es

If $a=\frac12$ and $(a+1)(b+1)=2,$ then the radian measure of $\operatorname{Arctan}a+\operatorname{Arctan}b$ equals

$\frac\pi2$

$\frac\pi3$

$\frac\pi4$

$\frac\pi5$

$\frac\pi6$

Respuesta: C

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Primero despeja $b$ en la ecuación de producto dada

First solve the given product equation for $b$

Pista grande:

Usa la fórmula de adición de tangentes para los dos ángulos positivos de tangente inversa

Use the tangent addition formula on the two positive inverse-tangent angles

Solución:

Al sustituir $a=\frac{1}{2}$ , se obtiene $b=\frac{1}{3}.$ Si $u=\operatorname{Arctan}a$ y $v=\operatorname{Arctan}b,$ entonces $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Ambos ángulos son positivos y su suma es menor que $\frac{\pi}{2},$ de modo que $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substituting $a=\frac{1}{2}$ gives $b=\frac{1}{3}.$ If $u=\operatorname{Arctan}a$ and $v=\operatorname{Arctan}b,$ then $\begin{aligned} \tan(u+v)&=\frac{a+b}{1-ab}\\ &=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\\ &=1. \end{aligned}$ Both angles are positive and their sum is less than $\frac{\pi}{2},$ so $u+v=\frac{\pi}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años