Question

En la figura adjunta, el triángulo $ABC$ cumple $AB=4$ y $AC=8.$ Si $M$ es el punto medio de $BC$ y $AM=3,$ ¿cuál es la longitud de $BC$ ?

In the adjoining figure triangle $ABC$ is such that $AB=4$ and $AC=8.$ If $M$ is the midpoint of $BC$ and $AM=3,$ what is the length of $BC?$

$2\sqrt{26}$

$2\sqrt{31}$

$9$

$4+2\sqrt{13}$

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not enough information given to solve the problem

Usa la relación entre los tres lados de un triángulo y una mediana

Use the relation between a triangle’s three sides and a median

El teorema de Apolonio da $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

Apollonius’ theorem gives $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

Sea $BM=CM=x,$ de modo que $BC=2x.$ Por el teorema de Apolonio, $4^2+8^2=2(3^2+x^2).$ Por tanto, $80=18+2x^2,\ x^2=31,$ y $BC=2\sqrt{31}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $BM=CM=x,$ so $BC=2x.$ By Apollonius’ theorem, $4^2+8^2=2(3^2+x^2).$ Hence $80=18+2x^2,\ x^2=31,$ and $BC=2\sqrt{31}.$

Therefore, the correct answer is B.