Question

Sean $a, b, c, d, e, f, g$ y $h$ elementos distintos del conjunto $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}$

Let $a, b, c, d, e, f, g$ and $h$ be distinct elements in the set $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.$ What is the minimum possible value of $\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}$

$30$

$32$

$34$

$40$

$50$

Solución:

Los elementos suman $8.$ Si $a + b + c + d = x,$ entonces $e + f + g + h = 8 - x,$ así que $x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.$

Esto se minimiza cuando $x = 4,$ dando $32.$ Pero $13$ debe estar en un grupo, y ningún conjunto de tres de los elementos restantes se suma con $13$ para dar $4$ (eso requeriría tres de ellos que sumaran $-9,$ lo cual es imposible aquí). Así que $x = 4$ es inalcanzable y $(x - 4)^2 \ge 1.$

El mínimo es $2(1) + 32 = 34,$ que se alcanza por ejemplo con $\{-7, -5, 2, 13\}$ (suma $3$ ) y $\{-3, -2, 4, 6\}$ (suma $5$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The elements sum to $8.$ If $a + b + c + d = x,$ then $e + f + g + h = 8 - x,$ so $x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.$

This is minimized when $x = 4,$ giving $32.$ But $13$ must lie in one group, and no three of the remaining elements add with $13$ to make $4$ (that would need three of them summing to $-9,$ which is impossible here). So $x = 4$ is unattainable and $(x - 4)^2 \ge 1.$

The minimum is $2(1) + 32 = 34,$ achieved for instance by $\{-7, -5, 2, 13\}$ (sum $3$ ) and $\{-3, -2, 4, 6\}$ (sum $5$ ).

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años