Question

La base del pentaedro mostrado abajo es un rectángulo $13 \times 8$ , y sus caras laterales son dos triángulos isósceles con base de longitud $8$ y lados congruentes de longitud $13,$ y dos trapecios isósceles con bases de longitudes $7$ y $13$ y lados no paralelos de longitud $13.$

¿Cuál es el volumen del pentaedro?

The base of the pentahedron shown below is a $13 \times 8$ rectangle, and its lateral faces are two isosceles triangles with base of length $8$ and congruent sides of length $13,$ and two isosceles trapezoids with bases of lengths $7$ and $13$ and nonparallel sides of length $13.$

What is the volume of the pentahedron?

$416$

$520$

$528$

$676$

$832$

Solución:

La parte superior es una arista de longitud $7,$ centrada sobre la base a cierta altura $h.$ Sus extremos están sobre $(3, 4)$ y $(10, 4)$ de la base $13 \times 8.$ Una arista inclinada a una esquina de la base tiene longitud $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,$ así que $h = 12.$

A la altura $z,$ la sección transversal horizontal es un rectángulo que mide $\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)$ por $\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right).$ En $z = 0$ su área es $104$ ; en $z = 6$ es $10 \cdot 4 = 40$ ; en $z = 12$ la arista tiene área $0.$

Por la fórmula del prismatoide, $\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The top is a ridge of length $7,$ centered above the base at some height $h.$ Its endpoints sit above $(3, 4)$ and $(10, 4)$ of the $13 \times 8$ base. A slant edge to a base corner has length $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,$ so $h = 12.$

At height $z,$ the horizontal cross-section is a rectangle measuring $\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)$ by $\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right).$ At $z = 0$ its area is $104$ ; at $z = 6$ it is $10 \cdot 4 = 40$ ; at $z = 12$ the ridge has area $0.$

By the prismatoid formula, $\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años