Question

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 9$ y $CD = 12.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E,$ $AC = 14,$ y $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale $AE$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

Solución:

Sumar $\triangle CED$ a cada uno de $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ muestra que $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ tienen áreas iguales. Comparten la base $CD,$ así que $A$ y $B$ equidistan de la recta $CD,$ lo que significa $AB \parallel CD.$

Entonces $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ con razón $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ así que $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Escribiendo $AE = 3x$ y $EC = 4x,$ obtenemos $7x = AC = 14,$ así que $x = 2$ y $AE = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $\triangle CED$ to each of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas. They share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Writing $AE = 3x$ and $EC = 4x,$ we get $7x = AC = 14,$ so $x = 2$ and $AE = 6.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años