Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $\operatorname{mod}_5(n)$ el residuo obtenido al dividir $n$ entre $5.$ Define una función $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursivamente como sigue:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{si } i = 0 \text{ y } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{si } i \ge 1 \text{ y } j = 0, \text{ y} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{si } i \ge 1 \text{ y } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

¿Cuánto es $f(2015, 2)$ ?

For every positive integer $n,$ let $\operatorname{mod}_5(n)$ be the remainder obtained when $n$ is divided by $5.$ Define a function $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursively as follows:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{if } i = 0 \text{ and } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } j = 0, \text{ and} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

What is $f(2015, 2)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Construye la tabla de $f(i, j)$ fila por fila para $i$ pequeño

Build the table of $f(i, j)$ row by row for small $i$

Pista grande:

Sigue la columna $j = 2;$ se vuelve constante cuando $i$ es lo suficientemente grande

Track the column $j = 2;$ it becomes constant once $i$ is large enough

Solución:

Aplicar la recursión de izquierda a derecha en cada fila da $\begin{array}{c|ccccc} i\backslash j&0&1&2&3&4\\ \hline 0&1&2&3&4&0\\ 1&2&3&4&0&1\\ 2&3&0&2&4&1\\ 3&0&3&4&1&0\\ 4&3&1&3&1&3\\ 5&1&1&1&1&1 \end{array}$ Si una fila está formada enteramente por $1$ , la recursión hace que la fila siguiente también esté formada enteramente por $1$ . Por lo tanto, por inducción, $f(i,2)=1$ para todo $i\ge5.$

Como $2015 \ge 5,$ obtenemos $f(2015, 2) = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Applying the recursion from left to right in each row gives $\begin{array}{c|ccccc} i\backslash j&0&1&2&3&4\\ \hline 0&1&2&3&4&0\\ 1&2&3&4&0&1\\ 2&3&0&2&4&1\\ 3&0&3&4&1&0\\ 4&3&1&3&1&3\\ 5&1&1&1&1&1 \end{array}$ If a row consists entirely of $1$ s, the recursion makes the next row entirely $1$ s as well. Hence, by induction, $f(i,2)=1$ for every $i\ge5.$

Since $2015 \ge 5,$ we get $f(2015, 2) = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B Problema 20

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años