Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $\operatorname{mod}_5(n)$ el residuo obtenido al dividir $n$ entre $5.$ Define una función $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursivamente como sigue:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{if } i = 0 \text{ and } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } j = 0, \text{ and} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

¿Cuánto es $f(2015, 2)$ ?

For every positive integer $n,$ let $\operatorname{mod}_5(n)$ be the remainder obtained when $n$ is divided by $5.$ Define a function $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursively as follows:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{if } i = 0 \text{ and } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } j = 0, \text{ and} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

What is $f(2015, 2)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Calculando $f(i, j)$ fila por fila a partir de la definición, la columna $j = 2$ se estabiliza: $f(i, 2) = 1$ para todo $i \ge 5.$

Como $2015 \ge 5,$ obtenemos $f(2015, 2) = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Computing $f(i, j)$ row by row from the definition, the column $j = 2$ stabilizes: $f(i, 2) = 1$ for all $i \ge 5.$

Since $2015 \ge 5,$ we get $f(2015, 2) = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años