Question

Se elige $x$ al azar en el intervalo $(0, 1)$ . ¿Cuál es la probabilidad de que $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0$ ? Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x$ .

Let $x$ be chosen at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?$ Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

La ecuación dice que $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor$ , es decir, $x$ y $4x$ están en el mismo intervalo $[10^n, 10^{n+1})$ .

Esto se cumple exactamente cuando $10^n \le x$ y $4x \lt 10^{n+1}$ , es decir, $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}$ .

Dentro de $[10^n, 10^{n+1})$ , la fracción favorable es $\begin{aligned} &\frac{10^{n+1}/4 - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{10/4 - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Como esta fracción es la misma en cada uno de estos intervalos, la probabilidad total es $\dfrac{1}{6}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation says $\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,$ i.e. $x$ and $4x$ lie in the same interval $[10^n, 10^{n+1}).$

This holds exactly when $10^n \le x$ and $4x \lt 10^{n+1},$ that is $10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.$

Within $[10^n, 10^{n+1}),$ the favorable fraction is $\begin{aligned} &\frac{10^{n+1}/4 - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{10/4 - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is $\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años