Question

Cada cara de un cubo se pinta de rojo o de azul, cada una con probabilidad $\tfrac12.$ El color de cada cara se determina de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo pintado pueda colocarse sobre una superficie horizontal de modo que las cuatro caras verticales sean todas del mismo color?

Each face of a cube is painted either red or blue, each with probability $\tfrac12.$ The color of each face is determined independently. What is the probability that the painted cube can be placed on a horizontal surface so that the four vertical faces are all the same color?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Hay $2^6 = 64$ coloraciones. Existe una orientación adecuada cuando las seis caras son de un color ( $2$ maneras), exactamente cinco caras son de un color ( $2 \cdot 6 = 12$ maneras), o cuatro caras son de un color con el otro color en un par de caras opuestas ( $2 \cdot 3 = 6$ maneras). Esto da $2 + 12 + 6 = 20$ coloraciones favorables, así que la probabilidad es $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $2^6 = 64$ colorings. A suitable orientation exists when all six faces are one color ( $2$ ways), exactly five faces are one color ( $2 \cdot 6 = 12$ ways), or four faces are one color with the other color on a pair of opposite faces ( $2 \cdot 3 = 6$ ways). That is $2 + 12 + 6 = 20$ favorable colorings, so the probability is $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años