Question

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AD}$ y $\overline{BC},$ con $BC\lt AD$ y $AB=CD.$ Hay un punto $P$ en el plano tal que $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ y $PD=4.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{BC}{AD}$ ?

Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC\lt AD$ and $AB=CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ and $PD=4.$ What is $\dfrac{BC}{AD}?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Solución:

Coloca el trapecio simétrico respecto al eje $y$ : $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ con $P=(x,y).$

Entonces $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ y $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividiendo se obtiene $\dfrac{p}{q}=3.$

Como $AD=2p$ y $BC=2q,$ obtenemos $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the trapezoid symmetric about the $y$ -axis: $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ with $P=(x,y).$

Then $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ and $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividing gives $\dfrac{p}{q}=3.$

Since $AD=2p$ and $BC=2q,$ we get $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años