Soluciones del 2022 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de

$3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\frac13}}?$

What is the value of

$3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\frac13}}?$

$\dfrac{31}{10}$

$\dfrac{49}{15}$

$\dfrac{33}{10}$

$\dfrac{109}{33}$

$\dfrac{15}{4}$

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Simplifica desde abajo. La fracción más interna es $3+\dfrac13=\dfrac{10}{3}.$

La siguiente capa es $3+\dfrac{1}{10/3}=3+\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{10}.$

Finalmente, $3+\dfrac{1}{33/10}=3+\dfrac{10}{33}=\dfrac{109}{33}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Simplify from the bottom. The innermost fraction is $3+\dfrac13=\dfrac{10}{3}.$

The next layer is $3+\dfrac{1}{10/3}=3+\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{10}.$

Finally, $3+\dfrac{1}{33/10}=3+\dfrac{10}{33}=\dfrac{109}{33}.$

Thus, the correct answer is D.

2.

La suma de tres números es $96.$ El primer número es $6$ veces el tercero, y el tercero es $40$ menos que el segundo. ¿Cuál es el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el segundo?

The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Sea el tercer número $t.$ Entonces el primero es $6t$ y el segundo es $t+40.$ Su suma es $6t+(t+40)+t=8t+40=96,$ así que $t=7.$

El primer número es $42$ y el segundo es $47,$ por lo que la diferencia tiene valor absoluto $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the third number be $t.$ Then the first is $6t$ and the second is $t+40.$ Their sum is $6t+(t+40)+t=8t+40=96,$ so $t=7.$

The first number is $42$ and the second is $47,$ so the difference has absolute value $5.$

Thus, the correct answer is E.

3.

Cinco rectángulos, $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E,$ están dispuestos en un cuadrado como se muestra abajo. Estos rectángulos tienen dimensiones $1\times6,$ $2\times4,$ $5\times6,$ $2\times7,$ y $2\times3,$ respectivamente. (La figura no está dibujada a escala.) ¿Cuál de los cinco rectángulos es el sombreado del centro?

Five rectangles, $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E,$ are arranged in a square as shown below. These rectangles have dimensions $1\times6,$ $2\times4,$ $5\times6,$ $2\times7,$ and $2\times3,$ respectively. (The figure is not drawn to scale.) Which of the five rectangles is the shaded one in the middle?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:área teselado rectángulo

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Las cinco áreas son $6,\ 8,\ 30,\ 14,$ y $6,$ que suman $64.$ Así que el cuadrado es $8\times8.$

Colocando $C$ ( $5\times6$ ) en la parte superior izquierda, $D$ ( $2\times7$ ) por el lado derecho, $E$ ( $2\times3$ ) en la parte inferior izquierda, y $A$ ( $1\times6$ ) a lo largo de la base, queda un hueco central $2\times4$ , que es exactamente el rectángulo $B.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The five areas are $6,\ 8,\ 30,\ 14,$ and $6,$ which sum to $64.$ So the square is $8\times8.$

Placing $C$ ( $5\times6$ ) across the top left, $D$ ( $2\times7$ ) up the right side, $E$ ( $2\times3$ ) in the lower left, and $A$ ( $1\times6$ ) along the bottom leaves a central $2\times4$ gap, which is exactly rectangle $B.$

Thus, the correct answer is B.

4.

El mínimo común múltiplo de un entero positivo $n$ y $18$ es $180,$ y el máximo común divisor de $n$ y $45$ es $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Como $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ y $18=2\cdot3^2,$ la condición $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ obliga a que $n$ aporte $2^2$ y $5,$ con su potencia de $3$ a lo sumo $2.$

De $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ la potencia de $3$ en $n$ es exactamente $1$ y la potencia de $5$ es al menos $1.$

Por lo tanto $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ cuyos dígitos suman $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and $18=2\cdot3^2,$ the condition $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ forces $n$ to contribute $2^2$ and $5,$ with its power of $3$ at most $2.$

From $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ the power of $3$ in $n$ is exactly $1$ and the power of $5$ is at least $1.$

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ whose digits sum to $6.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Sea la distancia de taxi entre los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en el plano coordenado dada por $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ ¿Para cuántos puntos $P$ de coordenadas enteras la distancia de taxi entre $P$ y el origen es menor o igual que $20$ ?

Let the taxicab distance between points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ in the coordinate plane be given by $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20?$

$441$

$761$

$841$

$921$

$924$

Conceptos:punto reticular sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Para cada $k\ge1,$ el conjunto $|x|+|y|=k$ contiene exactamente $4k$ puntos de retícula, y $k=0$ da solo el origen.

El total es $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each $k\ge1,$ the set $|x|+|y|=k$ contains exactly $4k$ lattice points, and $k=0$ gives the single origin.

The total is $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

6.

Un conjunto de datos consta de $6$ enteros positivos (no necesariamente distintos): $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ y $X.$ El promedio (media aritmética) de los $6$ números es igual a un valor del conjunto de datos. ¿Cuál es la suma de todos los valores positivos de $X$ ?

A data set consists of $6$ (not distinct) positive integers: $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ and $X.$ The average (arithmetic mean) of the $6$ numbers equals a value in the data set. What is the sum of all positive values of $X?$

$10$

$26$

$32$

$36$

$40$

Conceptos:media análisis por casos

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Los números conocidos suman $20,$ así que la media es $\dfrac{20+X}{6},$ que debe ser igual a un elemento del conjunto.

Igualándola a $5$ da $X=10;$ a $7$ da $X=22;$ y a $X$ mismo da $20+X=6X,$ así que $X=4.$ Los valores $1$ y $2$ dan $X$ negativo.

Los valores positivos son $10,22,4,$ que suman $36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The known numbers sum to $20,$ so the mean is $\dfrac{20+X}{6},$ which must equal an element of the set.

Setting it to $5$ gives $X=10;$ to $7$ gives $X=22;$ and to $X$ itself gives $20+X=6X,$ so $X=4.$ Values $1$ and $2$ give negative $X.$

The positive values are $10,22,4,$ summing to $36.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Un rectángulo se divide en $5$ regiones como se muestra. Cada región se pinta de un color sólido, rojo, naranja, amarillo, azul o verde, de modo que las regiones que se tocan queden pintadas de colores diferentes, y los colores pueden usarse más de una vez. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A rectangle is partitioned into $5$ regions as shown. Each region is to be painted a solid color - red, orange, yellow, blue, or green - so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

$120$

$270$

$360$

$540$

$720$

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

La región inferior central comparte frontera con las otras cuatro regiones. Coloréala primero de $5$ maneras.

La región superior izquierda limita con ella, dando $4$ opciones. Cada una de las tres regiones restantes limita con exactamente dos regiones ya coloreadas, que tienen colores diferentes, dejando $3$ opciones cada una.

El total es $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The bottom-middle region shares a border with all four other regions. Color it first in $5$ ways.

The top-left region borders it, giving $4$ choices. Each of the three remaining regions borders exactly two already-colored regions, which have different colors, leaving $3$ choices apiece.

The total is $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540.$

Thus, the correct answer is D.

8.

El producto infinito

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

es igual a un número real. ¿Cuál es ese número?

The infinite product

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

evaluates to a real number. What is that number?

$\sqrt{10}$

$\sqrt[3]{100}$

$\sqrt[4]{1000}$

$10$

$10\sqrt[3]{10}$

Conceptos:exponente sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

El $k$ -ésimo factor es $10$ elevado a la raíz cúbica aplicada $k$ veces, es decir $10^{1/3^k}.$

El producto es $10$ elevado a $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{1/3}{1-1/3} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

Así que el valor es $10^{1/2}=\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $k$ th factor is $10$ raised to the $k$ -fold cube root, namely $10^{1/3^k}.$

The product is $10$ raised to $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{1/3}{1-1/3} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

So the value is $10^{1/2}=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

9.

En Halloween, $31$ niños entraron a la oficina del director pidiendo dulces. Se pueden clasificar en tres tipos: algunos siempre mienten; algunos siempre dicen la verdad; y algunos mienten y dicen la verdad de forma alterna. Los alternantes eligen arbitrariamente su primera respuesta, ya sea una mentira o la verdad, pero cada afirmación siguiente tiene el valor de verdad opuesto al de la anterior. El director hizo a todos las mismas tres preguntas en este orden.

"¿Eres alguien que dice la verdad?" El director dio un dulce a cada uno de los $22$ niños que respondieron que sí.

"¿Eres un alternante?" El director dio un dulce a cada uno de los $15$ niños que respondieron que sí.

"¿Eres un mentiroso?" El director dio un dulce a cada uno de los $9$ niños que respondieron que sí.

¿Cuántos dulces en total dio el director a los niños que siempre dicen la verdad?

On Halloween $31$ children walked into the principal's office asking for candy. They can be classified into three types: some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order.

"Are you a truth-teller?" The principal gave a piece of candy to each of the $22$ children who answered yes.

"Are you an alternater?" The principal gave a piece of candy to each of the $15$ children who answered yes.

"Are you a liar?" The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?

$7$

$12$

$21$

$27$

$31$

Conceptos:veraces y mentirosos deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

A "¿Eres alguien que dice la verdad?", tanto los que dicen la verdad como los mentirosos responden que sí, y de los alternantes solo responden que sí quienes mienten en esta pregunta. A "¿Eres un alternante?", los mentirosos responden que sí, y entre los alternantes solo responden que sí quienes dicen la verdad en esta pregunta. A "¿Eres un mentiroso?", solo responden que sí los alternantes que mienten en esta pregunta.

Separa a los alternantes según su primera respuesta. Los que empiezan con una mentira responden (mentira, verdad, mentira), así que dicen que sí a las tres preguntas; los que empiezan con la verdad responden (verdad, mentira, verdad) y no dicen que sí a ninguna de las tres. Los $9$ síes de la última pregunta son exactamente los alternantes que mienten primero, así que hay $9$ de ellos.

Los $15$ síes de la segunda pregunta son los mentirosos más estos $9,$ así que hay $6$ mentirosos. Los $22$ síes de la primera pregunta son los que dicen la verdad más los mentirosos más los $9,$ así que los que dicen la verdad son $22-6-9=7.$

Los que dicen la verdad responden que sí solo a la primera pregunta, recibiendo un dulce cada uno, para un total de $7\cdot1=7$ dulces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To "Are you a truth-teller?" the truth-tellers and liars both answer yes, and only alternaters who lie on this question answer yes. To "Are you an alternater?" the liars answer yes, and among alternaters only those telling the truth on this question answer yes. To "Are you a liar?" only alternaters lying on this question answer yes.

Split the alternaters by first response. Those starting with a lie answer (lie, truth, lie), so they say yes to all three questions; those starting truthful answer (truth, lie, truth) and say yes to none of the three. The $9$ yeses on the last question are exactly the lie-first alternaters, so there are $9$ of them.

The second question's $15$ yeses are the liars plus these $9,$ so there are $6$ liars. The first question's $22$ yeses are truth-tellers plus liars plus the $9,$ so the truth-tellers number $22-6-9=7.$

Truth-tellers answer yes only to the first question, receiving one candy each, for $7\cdot1=7$ pieces.

Thus, the correct answer is A.

10.

¿De cuántas maneras se pueden dividir los números del $1$ al $14$ en $7$ parejas de modo que en cada pareja el número mayor sea al menos $2$ veces el menor?

What is the number of ways the numbers from $1$ to $14$ can be split into $7$ pairs such that for each pair, the greater number is at least $2$ times the smaller number?

$108$

$120$

$126$

$132$

$144$

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

Cualquier número $8$ o mayor no puede ser un elemento menor (su doble supera $14$ ), así que $8$ – $14$ son todos elementos mayores y $1$ – $7$ son todos elementos menores.

Empareja cada menor $s$ con un mayor $g\ge2s.$ Procesando desde el más restrictivo: $s=7$ obliga a $g=14$ ( $1$ manera); luego $s=6$ tiene $\{12,13\}$ disponibles ( $2$ ); $s=5$ tiene $3;$ $s=4$ tiene $4;$ $s=3$ tiene $3;$ $s=2$ tiene $2;$ $s=1$ tiene $1.$

El número de emparejamientos es $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Any number $8$ or larger cannot be a smaller element (its double exceeds $14$ ), so $8$ – $14$ are all larger elements and $1$ – $7$ are all smaller elements.

Match each smaller $s$ to a larger $g\ge2s.$ Processing from the most restrictive: $s=7$ forces $g=14$ ( $1$ way); then $s=6$ has $\{12,13\}$ left ( $2$ ); $s=5$ has $3;$ $s=4$ has $4;$ $s=3$ has $3;$ $s=2$ has $2;$ $s=1$ has $1.$

The number of matchings is $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuál es el producto de todos los números reales $x$ tales que la distancia en la recta numérica entre $\log_6 x$ y $\log_6 9$ es el doble de la distancia en la recta numérica entre $\log_6 10$ y $1$ ?

What is the product of all real numbers $x$ such that the distance on the number line between $\log_6 x$ and $\log_6 9$ is twice the distance on the number line between $\log_6 10$ and $1?$

$10$

$18$

$25$

$36$

$81$

Conceptos:logaritmo valor absoluto

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

La distancia del lado derecho es $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ así que su doble es $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Por lo tanto $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ lo que da $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ o $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ así que $x=25$ o $x=\dfrac{81}{25}.$

Su producto es $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The right-hand distance is $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ so twice it is $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Thus $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ giving $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ or $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ so $x=25$ or $x=\dfrac{81}{25}.$

Their product is $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ en el tetraedro regular $ABCD.$ ¿Cuánto vale $\cos(\angle CMD)$ ?

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD.$ What is $\cos(\angle CMD)?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Conceptos:Geometría 3D mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Toma longitud de arista $1.$ Como $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ los segmentos $CM$ y $DM$ son alturas de las caras equiláteras, cada una de longitud $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Además $CD=1.$

Por la Ley de Cosenos en $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{1/2}{3/2}=\frac13. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take edge length $1.$ Since $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ segments $CM$ and $DM$ are altitudes of the equilateral faces, each of length $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Also $CD=1.$

By the Law of Cosines in $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{1/2}{3/2}=\frac13. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

13.

Sea $\mathcal{R}$ la región del plano complejo formada por todos los números complejos $z$ que se pueden escribir como la suma de números complejos $z_1$ y $z_2,$ donde $z_1$ está en el segmento de extremos $3$ y $4i,$ y $z_2$ tiene módulo a lo sumo $1.$ ¿Qué entero es el más cercano al área de $\mathcal{R}$ ?

Let $\mathcal{R}$ be the region in the complex plane consisting of all complex numbers $z$ that can be written as the sum of complex numbers $z_1$ and $z_2,$ where $z_1$ lies on the segment with endpoints $3$ and $4i,$ and $z_2$ has magnitude at most $1.$ What integer is closest to the area of $\mathcal{R}?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:área fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Agregar un disco de radio $1$ a cada punto del segmento barre todos los puntos a distancia a lo sumo $1$ de él. El segmento de $3$ a $4i$ tiene longitud $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Este "estadio" es un rectángulo $5\times2$ más dos semicírculos de radio $1,$ con área $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

El entero más cercano es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a disk of radius $1$ to every point of the segment sweeps out all points within distance $1$ of it. The segment from $3$ to $4i$ has length $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

This "stadium" is a $5\times2$ rectangle plus two half-disks of radius $1,$ with area $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

The closest integer is $13.$

Thus, the correct answer is A.

14.

¿Cuál es el valor de

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

donde $\log$ denota el logaritmo en base diez?

What is the value of

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

where $\log$ denotes the base-ten logarithm?

$\dfrac32$

$\dfrac74$

$2$

$\dfrac94$

$3$

Conceptos:logaritmo suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Sea $u=\log 2.$ Entonces $\log 5=1-u,$ $\log 20=1+u,$ $\log 8=3u,$ y $\log 0.25=-2u.$

Con $a=1-u,\ b=1+u,$ tenemos $a+b=2$ y $ab=1-u^2,$ así que $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}$

El último término es $(3u)(-2u)=-6u^2,$ así que el total es $2+6u^2-6u^2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=\log 2.$ Then $\log 5=1-u,$ $\log 20=1+u,$ $\log 8=3u,$ and $\log 0.25=-2u.$

With $a=1-u,\ b=1+u,$ we have $a+b=2$ and $ab=1-u^2,$ so $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}$

The last term is $(3u)(-2u)=-6u^2,$ so the total is $2+6u^2-6u^2=2.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Las raíces del polinomio $10x^3-39x^2+29x-6$ son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en $2$ unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial $10x^3-39x^2+29x-6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$ units. What is the volume of the new box?

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{42}{5}$

$\dfrac{81}{5}$

$30$

$48$

Conceptos:Fórmulas de Vieta volumen

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Sean las raíces $r,s,t.$ Por las fórmulas de Vieta, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ y $rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.$

El nuevo volumen es $\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the roots be $r,s,t.$ By Vieta's formulas, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ and $rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.$

The new volume is $\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

16.

Un número triangular es un entero positivo que se puede expresar en la forma $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ para algún entero positivo $n.$ Los tres números triangulares más pequeños que también son cuadrados perfectos son $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ y $t_{49}=1225=35^2.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del cuarto número triangular más pequeño que también es un cuadrado perfecto?

A triangular number is a positive integer that can be expressed in the form $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ for some positive integer $n.$ The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ and $t_{49}=1225=35^2.$ What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?

$6$

$9$

$12$

$18$

$27$

Conceptos:número triangular cuadrado perfecto recursión

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Los números triangulares cuadrados satisfacen la recurrencia $N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2.$ Partiendo de $N_2=36$ y $N_3=1225,$ el siguiente término es $N_4=34\cdot1225-36+2$ $=41616.$

En efecto $41616=204^2=\dfrac{288\cdot289}{2},$ así que es a la vez un cuadrado perfecto y $t_{288}.$

La suma de sus dígitos es $4+1+6+1+6=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Square triangular numbers satisfy the recurrence $N_k=34N_{k-1}-N_{k-2}+2.$ Starting from $N_2=36$ and $N_3=1225,$ the next term is $N_4=34\cdot1225-36+2$ $=41616.$

Indeed $41616=204^2=\dfrac{288\cdot289}{2},$ so it is both a perfect square and $t_{288}.$

The sum of its digits is $4+1+6+1+6=18.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Supón que $a$ es un número real tal que la ecuación

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

tiene más de una solución en el intervalo $(0,\pi).$ El conjunto de todos esos $a$ se puede escribir en la forma $(p,q)\cup(q,r),$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son números reales con $p\lt q\lt r.$ ¿Cuánto vale $p+q+r$ ?

Suppose $a$ is a real number such that the equation

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

has more than one solution in the interval $(0,\pi).$ The set of all such $a$ can be written in the form $(p,q)\cup(q,r),$ where $p,$ $q,$ and $r$ are real numbers with $p\lt q\lt r.$ What is $p+q+r?$

$-4$

$-1$

$0$

$1$

$4$

Conceptos:identidad trigonométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Como $\sin x\ne0$ en $(0,\pi),$ divide entre $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

Cuando $\cos x=-\tfrac12$ (es decir, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) ambos lados se anulan, así que esto es una solución para todo $a.$ En otro caso podemos cancelar $1+2\cos x$ para obtener $a=2\cos x-1,$ o sea $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

Esto da una segunda solución en $(0,\pi)$ exactamente cuando $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ es decir $a\in(-3,1),$ y es distinta de $x=\tfrac{2\pi}{3}$ salvo que $a=-2.$

Así que hay más de una solución cuando $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ dando $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\sin x\ne0$ on $(0,\pi),$ divide by $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

When $\cos x=-\tfrac12$ (that is, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) both sides vanish, so this is a solution for every $a.$ Otherwise we may cancel $1+2\cos x$ to get $a=2\cos x-1,$ i.e. $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

This yields a second solution in $(0,\pi)$ exactly when $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ that is $a\in(-3,1),$ and it is distinct from $x=\tfrac{2\pi}{3}$ unless $a=-2.$

So more than one solution occurs for $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ giving $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Sea $T_k$ la transformación del plano coordenado que primero rota el plano $k$ grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego lo refleja respecto al eje $y$ . ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ tal que realizar la secuencia de transformaciones $T_1,T_2,T_3,\ldots,T_n$ devuelve el punto $(1,0)$ a sí mismo?

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1,T_2,T_3,\ldots,T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Rotar un punto en el ángulo $\theta$ en $k^\circ$ da $\theta+k,$ y reflejar respecto al eje $y$ envía el ángulo $\phi$ a $180-\phi.$ Así que $T_k$ envía $\theta$ a $(180-k)-\theta.$

Partiendo de $(1,0)$ en el ángulo $0,$ aplicar $T_1,T_2,\ldots$ da los ángulos $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ Después de un número par $2m$ de pasos el ángulo es $-m,$ y después de un número impar $2m+1$ es $179-m.$

Para que el punto regrese, el ángulo debe ser un múltiplo de $360^\circ.$ El caso par requiere $m=360,$ es decir $n=720.$ El caso impar requiere $179-m=0,$ es decir $m=179$ y $n=359,$ donde la reflexión neta fija $(1,0).$

El menor $n$ de este tipo es $359.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rotating a point at angle $\theta$ by $k^\circ$ gives $\theta+k,$ and reflecting across the $y$ -axis sends angle $\phi$ to $180-\phi.$ So $T_k$ sends $\theta$ to $(180-k)-\theta.$

Starting from $(1,0)$ at angle $0,$ applying $T_1,T_2,\ldots$ gives angles $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ After an even number $2m$ of steps the angle is $-m,$ and after an odd number $2m+1$ it is $179-m.$

For the point to return, the angle must be a multiple of $360^\circ.$ The even case needs $m=360,$ i.e. $n=720.$ The odd case needs $179-m=0,$ i.e. $m=179$ and $n=359,$ where the net reflection fixes $(1,0).$

The least such $n$ is $359.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Supón que $13$ cartas numeradas $1,2,3,\ldots,13$ están dispuestas en una fila. La tarea es recogerlas en orden numérico creciente, trabajando repetidamente de izquierda a derecha. En el ejemplo de abajo, las cartas $1,2,3$ se recogen en la primera pasada, $4$ y $5$ en la segunda pasada, $6$ en la tercera pasada, $7,8,9,10$ en la cuarta pasada, y $11,12,13$ en la quinta pasada. ¿En cuántos de los $13!$ posibles ordenamientos de las cartas se recogerán las $13$ cartas en exactamente dos pasadas?

Suppose that $13$ cards numbered $1,2,3,\ldots,13$ are arranged in a row. The task is to pick them up in numerically increasing order, working repeatedly from left to right. In the example below, cards $1,2,3$ are picked up on the first pass, $4$ and $5$ on the second pass, $6$ on the third pass, $7,8,9,10$ on the fourth pass, and $11,12,13$ on the fifth pass. For how many of the $13!$ possible orderings of the cards will the $13$ cards be picked up in exactly two passes?

$4082$

$4095$

$4096$

$8178$

$8191$

Conceptos:permutaciones reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Sea $\text{pos}(k)$ la posición de la carta $k.$ Se necesita una nueva pasada exactamente cuando $\text{pos}(k+1)\lt\text{pos}(k),$ así que el número de pasadas es uno más que el número de descensos en la sucesión $\text{pos}(1),\text{pos}(2),\ldots,\text{pos}(13).$

Exactamente dos pasadas significa exactamente un descenso. El número de permutaciones de $13$ elementos con exactamente un descenso es el número euleriano $\left\langle{13\atop1}\right\rangle=2^{13}-13-1=8178.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\text{pos}(k)$ be the position of card $k.$ A fresh pass is needed exactly when $\text{pos}(k+1)\lt\text{pos}(k),$ so the number of passes is one more than the number of descents in the sequence $\text{pos}(1),\text{pos}(2),\ldots,\text{pos}(13).$

Exactly two passes means exactly one descent. The number of permutations of $13$ elements with exactly one descent is the Eulerian number $\left\langle{13\atop1}\right\rangle=2^{13}-13-1=8178.$

Thus, the correct answer is D.

20.

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AD}$ y $\overline{BC},$ con $BC\lt AD$ y $AB=CD.$ Hay un punto $P$ en el plano tal que $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ y $PD=4.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{BC}{AD}$ ?

Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC\lt AD$ and $AB=CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ and $PD=4.$ What is $\dfrac{BC}{AD}?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Conceptos:geometría analítica trapecio simetría

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Coloca el trapecio simétrico respecto al eje $y$ : $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ con $P=(x,y).$

Entonces $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ y $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividiendo se obtiene $\dfrac{p}{q}=3.$

Como $AD=2p$ y $BC=2q,$ obtenemos $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the trapezoid symmetric about the $y$ -axis: $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ with $P=(x,y).$

Then $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ and $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividing gives $\dfrac{p}{q}=3.$

Since $AD=2p$ and $BC=2q,$ we get $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Sea $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ ¿Cuál de los siguientes polinomios divide a $P(x)$ ?

Let $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ Which of the following polynomials divides $P(x)?$

$x^2-x+1$

$x^2+x+1$

$x^4+1$

$x^6-x^3+1$

$x^6+x^3+1$

Conceptos:raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Si $\zeta$ es una raíz de un divisor, entonces se requiere $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ .

Las raíces de $x^6+x^3+1$ son las raíces $9$ -ésimas primitivas de la unidad, así que $\zeta^9=1.$ Reduciendo los exponentes módulo $9,$ $2022\equiv6$ y $1011\equiv3,$ lo que da $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Aquí $\omega=\zeta^3$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, así que esto es igual a $\omega^2+\omega+1=0.$

Las otras cuatro opciones fallan: sustituir sus raíces produce valores no nulos (por ejemplo, las raíces cúbicas primitivas de la unidad dan $P=3$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $\zeta$ is a root of a divisor, then $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ is required.

The roots of $x^6+x^3+1$ are the primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^9=1.$ Reducing exponents modulo $9,$ $2022\equiv6$ and $1011\equiv3,$ giving $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Here $\omega=\zeta^3$ is a primitive cube root of unity, so this equals $\omega^2+\omega+1=0.$

The other four options fail: substituting their roots yields nonzero values (for instance, the primitive cube roots of unity give $P=3$ ).

Thus, the correct answer is E.

22.

Sea $c$ un número real, y sean $z_1,z_2$ los dos números complejos que satisfacen la cuadrática $z^2-cz+10=0.$ Los puntos $z_1,$ $z_2,$ $\dfrac{1}{z_1},$ y $\dfrac{1}{z_2}$ son los vértices de un cuadrilátero (convexo) $Q$ en el plano complejo. Cuando el área de $Q$ alcanza su valor máximo, ¿a cuál de los siguientes es $c$ el más cercano?

Let $c$ be a real number, and let $z_1,z_2$ be the two complex numbers satisfying the quadratic $z^2-cz+10=0.$ Points $z_1,$ $z_2,$ $\dfrac{1}{z_1},$ and $\dfrac{1}{z_2}$ are the vertices of a (convex) quadrilateral $Q$ in the complex plane. When the area of $Q$ obtains its maximum value, $c$ is the closest to which of the following?

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

$6.5$

Conceptos:número complejo trapecio optimización

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Si las raíces no son reales, entonces $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ y $z_2=\overline{z_1},$ ya que $z_1z_2=10.$ Entonces $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ y $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.$

Estos cuatro puntos forman un trapecio con dos lados verticales simétrico respecto al eje real. Su área resulta ser $\frac{99}{20}\sin 2\theta,$ que se maximiza en $\theta=45^\circ.$

Entonces $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47,$ el más cercano a $4.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the roots are non-real, then $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ and $z_2=\overline{z_1},$ since $z_1z_2=10.$ Then $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ and $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.$

These four points form a trapezoid with two vertical sides symmetric about the real axis. Its area works out to $\frac{99}{20}\sin 2\theta,$ which is maximized at $\theta=45^\circ.$

Then $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47,$ closest to $4.5.$

Thus, the correct answer is A.

23.

Sean $h_n$ y $k_n$ los únicos enteros positivos primos entre sí tales que

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Sea $L_n$ el mínimo común múltiplo de los números $1,2,3,\ldots,n.$ ¿Para cuántos enteros $n$ con $1\le n\le22$ se cumple $k_n\lt L_n$ ?

Let $h_n$ and $k_n$ be the unique relatively prime positive integers such that

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1,2,3,\ldots,n.$ For how many integers $n$ with $1\le n\le22$ is $k_n\lt L_n?$

$0$

$3$

$7$

$8$

$10$

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Siempre $k_n\mid L_n,$ así que $k_n\lt L_n$ exactamente cuando algún primo $p$ divide a la vez a $L_n$ y al numerador $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (es decir, un primo se cancela).

Para un primo $p$ con potencia máxima $p^a\le n,$ solo los términos con $v_p(k)=a$ mantienen $p$ fuera de $L_n/k;$ todos los demás son divisibles por $p.$ Así que $p$ se cancela si y solo si $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Revisando cada $n,$ la cancelación ocurre precisamente para $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ que son $8$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Always $k_n\mid L_n,$ so $k_n\lt L_n$ exactly when some prime $p$ divides both $L_n$ and the numerator $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (i.e. a prime cancels).

For a prime $p$ with maximal power $p^a\le n,$ only the terms with $v_p(k)=a$ keep $p$ out of $L_n/k;$ all others are divisible by $p.$ So $p$ cancels iff $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Checking each $n,$ cancellation occurs precisely for $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ which is $8$ values.

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Cuántas cadenas de longitud $5$ formadas con los dígitos $0,1,2,3,4$ hay tales que para cada $j\in\{1,2,3,4\},$ al menos $j$ de los dígitos son menores que $j$ ? (Por ejemplo, $02214$ satisface la condición porque contiene al menos $1$ dígito menor que $1,$ al menos $2$ dígitos menores que $2,$ al menos $3$ dígitos menores que $3,$ y al menos $4$ dígitos menores que $4.$ La cadena $23404$ no satisface la condición porque no contiene al menos $2$ dígitos menores que $2.$ )

How many strings of length $5$ formed from the digits $0,1,2,3,4$ are there such that for each $j\in\{1,2,3,4\},$ at least $j$ of the digits are less than $j?$ (For example, $02214$ satisfies the condition because it contains at least $1$ digit less than $1,$ at least $2$ digits less than $2,$ at least $3$ digits less than $3,$ and at least $4$ digits less than $4.$ The string $23404$ does not satisfy the condition because it does not contain at least $2$ digits less than $2.$ )

$500$

$625$

$1089$

$1199$

$1296$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Ordena los cinco dígitos como $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ El requisito "al menos $j$ dígitos menores que $j$ " es equivalente a $d_{(j)}\le j-1$ para $j=1,2,3,4,$ es decir $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (con $d_{(5)}\le4$ automático).

Contar las cadenas ordenadas de dígitos de $\{0,1,2,3,4\}$ cuyos valores ordenados cumplen estas cotas da $1296.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Sort the five digits as $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ The requirement "at least $j$ digits less than $j$ " is equivalent to $d_{(j)}\le j-1$ for $j=1,2,3,4,$ i.e. $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (with $d_{(5)}\le4$ automatic).

Counting the ordered strings of digits from $\{0,1,2,3,4\}$ whose sorted values obey these bounds gives $1296.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Una circunferencia de radio entero $r$ está centrada en $(r,r).$ Segmentos de recta distintos de longitud $c_i$ conectan los puntos $(0,a_i)$ con $(b_i,0)$ para $1\le i\le14$ y son tangentes a la circunferencia, donde $a_i,$ $b_i,$ y $c_i$ son todos enteros positivos y $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ ¿Cuál es la razón $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ para el menor valor posible de $r$ ?

A circle with integer radius $r$ is centered at $(r,r).$ Distinct line segments of length $c_i$ connect points $(0,a_i)$ to $(b_i,0)$ for $1\le i\le14$ and are tangent to the circle, where $a_i,$ $b_i,$ and $c_i$ are all positive integers and $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ What is the ratio $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ for the least possible value of $r?$

$\dfrac{21}{5}$

$\dfrac{85}{13}$

$7$

$\dfrac{39}{5}$

$17$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Terna pitagórica conteo de factores

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

La circunferencia centrada en $(r,r)$ con radio $r$ es tangente a ambos ejes. Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ con $a^2+b^2=c^2$ es tangente a ella cuando $r$ es igual al inradio $\tfrac{a+b-c}{2}$ o al semiperímetro $\tfrac{a+b+c}{2}$ del triángulo rectángulo con catetos $a,b.$

El caso del inradio se reordena como $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ así que el número de tales segmentos crece con el número de divisores de $2r^2.$ El menor $r$ que admite $14$ segmentos distintos es $r=6:$ el caso del semiperímetro da el triángulo $3$ - $4$ - $5$ (ambas orientaciones, $c=5$ ), y el caso del inradio da doce más, hasta $13$ - $84$ - $85$ con $c=85.$

Entonces $c_1=5$ y $c_{14}=85,$ así que $\dfrac{c_{14}}{c_1}=\dfrac{85}{5}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle centered $(r,r)$ with radius $r$ is tangent to both axes. A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ with $a^2+b^2=c^2$ is tangent to it when $r$ equals either the inradius $\tfrac{a+b-c}{2}$ or the semiperimeter $\tfrac{a+b+c}{2}$ of the right triangle with legs $a,b.$

The inradius case rearranges to $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ so the number of such segments grows with the number of divisors of $2r^2.$ The least $r$ that admits $14$ distinct segments is $r=6:$ the semiperimeter case gives the $3$ - $4$ - $5$ triangle (both orientations, $c=5$ ), and the inradius case gives twelve more, up to $13$ - $84$ - $85$ with $c=85.$

Then $c_1=5$ and $c_{14}=85,$ so $\dfrac{c_{14}}{c_1}=\dfrac{85}{5}=17.$

Thus, the correct answer is E.