2022 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de

$3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\frac13}}?$

What is the value of

$3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\frac13}}?$

$\dfrac{31}{10}$

$\dfrac{49}{15}$

$\dfrac{33}{10}$

$\dfrac{109}{33}$

$\dfrac{15}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Trabaja desde la fracción más interna hacia afuera

Work from the innermost fraction outward

Pista grande:

$3+\dfrac13=\dfrac{10}{3},$ así que la siguiente capa hacia arriba es $3+\dfrac{3}{10}$

$3+\dfrac13=\dfrac{10}{3},$ so the next layer up is $3+\dfrac{3}{10}$

Solución:

Simplifica desde abajo. La fracción más interna es $3+\dfrac13=\dfrac{10}{3}.$

La siguiente capa es $3+\dfrac{1}{\frac{10}{3}}=3+\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{10}.$

Finalmente, $3+\dfrac{1}{\frac{33}{10}}=3+\dfrac{10}{33}=\dfrac{109}{33}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Simplify from the bottom. The innermost fraction is $3+\dfrac13=\dfrac{10}{3}.$

The next layer is $3+\dfrac{1}{\frac{10}{3}}=3+\dfrac{3}{10}=\dfrac{33}{10}.$

Finally, $3+\dfrac{1}{\frac{33}{10}}=3+\dfrac{10}{33}=\dfrac{109}{33}.$

Thus, the correct answer is D.

2.

La suma de tres números es $96.$ El primer número es $6$ veces el tercero, y el tercero es $40$ menos que el segundo. ¿Cuál es el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el segundo?

The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Sea el tercer número $t$ y escribe los otros en términos de $t$

Let the third number be $t$ and write the others in terms of $t$

Pista grande:

El primero es $6t,$ el segundo es $t+40,$ y suman $96$

The first is $6t,$ the second is $t+40,$ and they sum to $96$

Solución:

Sea el tercer número $t.$ Entonces el primero es $6t$ y el segundo es $t+40.$ Su suma es $6t+(t+40)+t=8t+40=96,$ así que $t=7.$

El primer número es $42$ y el segundo es $47,$ por lo que la diferencia tiene valor absoluto $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the third number be $t.$ Then the first is $6t$ and the second is $t+40.$ Their sum is $6t+(t+40)+t=8t+40=96,$ so $t=7.$

The first number is $42$ and the second is $47,$ so the difference has absolute value $5.$

Thus, the correct answer is E.

3.

Cinco rectángulos, $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E,$ están dispuestos en un cuadrado como se muestra abajo. Estos rectángulos tienen dimensiones $1\times6,$ $2\times4,$ $5\times6,$ $2\times7,$ y $2\times3,$ respectivamente. (La figura no está dibujada a escala.) ¿Cuál de los cinco rectángulos es el sombreado del centro?

Five rectangles, $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E,$ are arranged in a square as shown below. These rectangles have dimensions $1\times6,$ $2\times4,$ $5\times6,$ $2\times7,$ and $2\times3,$ respectively. (The figure is not drawn to scale.) Which of the five rectangles is the shaded one in the middle?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Respuesta: B

Conceptos:área teselado rectángulo

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Las cinco áreas suman el área del cuadrado, lo que fija la longitud del lado

The five areas add to the square’s area, which fixes the side length

Pista grande:

Ancla las piezas grandes $5\times6$ y $2\times7$ en las esquinas, y luego encaja el resto

Anchor the large $5\times6$ and $2\times7$ pieces in corners, then fit the rest

Solución:

Las cinco áreas son $6,\ 8,\ 30,\ 14,$ y $6,$ que suman $64.$ Así que el cuadrado es $8\times8.$

Colocando $C$ ( $5\times6$ ) en la parte superior izquierda, $D$ ( $2\times7$ ) por el lado derecho, $E$ ( $2\times3$ ) en la parte inferior izquierda, y $A$ ( $1\times6$ ) a lo largo de la base, queda un hueco central $2\times4$ , que es exactamente el rectángulo $B.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The five areas are $6,\ 8,\ 30,\ 14,$ and $6,$ which sum to $64.$ So the square is $8\times8.$

Placing $C$ ( $5\times6$ ) across the top left, $D$ ( $2\times7$ ) up the right side, $E$ ( $2\times3$ ) in the lower left, and $A$ ( $1\times6$ ) along the bottom leaves a central $2\times4$ gap, which is exactly rectangle $B.$

Thus, the correct answer is B.

4.

El mínimo común múltiplo de un entero positivo $n$ y $18$ es $180,$ y el máximo común divisor de $n$ y $45$ es $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Factoriza $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ y observa qué potencias debe aportar $n$ más allá de $18=2\cdot3^2$

Factor $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and see which powers $n$ must supply beyond $18=2\cdot3^2$

Pista grande:

$\gcd(n,45)=15$ obliga a que haya exactamente un factor $3$ y al menos un factor $5$

$\gcd(n,45)=15$ forces exactly one factor of $3$ and at least one factor of $5$

Solución:

Como $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ y $18=2\cdot3^2,$ la condición $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ obliga a que $n$ aporte $2^2$ y $5,$ con su potencia de $3$ a lo sumo $2.$

De $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ la potencia de $3$ en $n$ es exactamente $1$ y la potencia de $5$ es al menos $1.$

Por lo tanto $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ cuyos dígitos suman $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and $18=2\cdot3^2,$ the condition $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ forces $n$ to contribute $2^2$ and $5,$ with its power of $3$ at most $2.$

From $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ the power of $3$ in $n$ is exactly $1$ and the power of $5$ is at least $1.$

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ whose digits sum to $6.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Sea la distancia de taxi entre los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en el plano coordenado dada por $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ ¿Para cuántos puntos $P$ de coordenadas enteras la distancia de taxi entre $P$ y el origen es menor o igual que $20$ ?

Let the taxicab distance between points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ in the coordinate plane be given by $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20?$

$441$

$761$

$841$

$921$

$924$

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cuenta por separado los puntos de retícula en cada “rombo” $|x|+|y|=k$

Count the lattice points on each “diamond” $|x|+|y|=k$ separately

Pista grande:

Hay $4k$ puntos con $|x|+|y|=k$ para $k\ge1,$ más el origen

There are $4k$ points with $|x|+|y|=k$ for $k\ge1,$ plus the origin

Solución:

Para cada $k\ge1,$ el conjunto $|x|+|y|=k$ contiene exactamente $4k$ puntos de retícula, y $k=0$ da solo el origen.

El total es $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each $k\ge1,$ the set $|x|+|y|=k$ contains exactly $4k$ lattice points, and $k=0$ gives the single origin.

The total is $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

6.

Un conjunto de datos consta de $6$ enteros positivos (no necesariamente distintos): $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ y $X.$ El promedio (media aritmética) de los $6$ números es igual a un valor del conjunto de datos. ¿Cuál es la suma de todos los valores positivos de $X$ ?

A data set consists of $6$ (not distinct) positive integers: $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ and $X.$ The average (arithmetic mean) of the $6$ numbers equals a value in the data set. What is the sum of all positive values of $X?$

$10$

$26$

$32$

$36$

$40$

Respuesta: D

Conceptos:media análisis por casos

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Los cinco números conocidos suman $20,$ así que la media es $\dfrac{20+X}{6}$

The five known numbers sum to $20,$ so the mean is $\dfrac{20+X}{6}$

Pista grande:

La media debe ser igual a uno de $1,2,5,7,$ o $X;$ solo algunos dan un $X$ positivo

The mean must equal one of $1,2,5,7,$ or $X;$ only some give positive $X$

Solución:

Los números conocidos suman $20,$ así que la media es $\dfrac{20+X}{6},$ que debe ser igual a un elemento del conjunto.

Igualándola a $5$ da $X=10;$ a $7$ da $X=22;$ y a $X$ mismo da $20+X=6X,$ así que $X=4.$ Los valores $1$ y $2$ dan un valor negativo de $X.$

Los valores positivos son $10,22,4,$ que suman $36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The known numbers sum to $20,$ so the mean is $\dfrac{20+X}{6},$ which must equal an element of the set.

Setting it to $5$ gives $X=10;$ to $7$ gives $X=22;$ and to $X$ itself gives $20+X=6X,$ so $X=4.$ Values $1$ and $2$ give negative $X.$

The positive values are $10,22,4,$ summing to $36.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Un rectángulo se divide en $5$ regiones como se muestra. Cada región se pinta de un color sólido, rojo, naranja, amarillo, azul o verde, de modo que las regiones que se tocan queden pintadas de colores diferentes, y los colores pueden usarse más de una vez. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A rectangle is partitioned into $5$ regions as shown. Each region is to be painted a solid color - red, orange, yellow, blue, or green - so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

$120$

$270$

$360$

$540$

$720$

Respuesta: D

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Colorea primero la región que limita con la mayor cantidad de otras

Color the region that borders the most others first

Pista grande:

Una región toca a las otras cuatro; cada región restante debe evitar dos colores ya usados

One region touches all four others; each remaining region must avoid two already-used colors

Solución:

La región inferior central comparte frontera con las otras cuatro regiones. Coloréala primero de $5$ maneras.

La región superior izquierda limita con ella, dando $4$ opciones. Cada una de las tres regiones restantes limita con exactamente dos regiones ya coloreadas, que tienen colores diferentes, dejando $3$ opciones cada una.

El total es $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The bottom-middle region shares a border with all four other regions. Color it first in $5$ ways.

The top-left region borders it, giving $4$ choices. Each of the three remaining regions borders exactly two already-colored regions, which have different colors, leaving $3$ choices apiece.

The total is $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540.$

Thus, the correct answer is D.

8.

El producto infinito

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

es igual a un número real. ¿Cuál es ese número?

The infinite product

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

evaluates to a real number. What is that number?

$\sqrt{10}$

$\sqrt[3]{100}$

$\sqrt[4]{1000}$

$10$

$10\sqrt[3]{10}$

Respuesta: A

Conceptos:exponente sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe cada factor como una potencia de $10$

Write every factor as a power of $10$

Pista grande:

Los exponentes son $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,$ una serie geométrica

The exponents are $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,$ a geometric series

Solución:

El $k$ -ésimo factor es $10$ elevado a la raíz cúbica aplicada $k$ veces, es decir $10^{\frac{1}{3^k}}.$

El producto es $10$ elevado a $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

Así que el valor es $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $k$ th factor is $10$ raised to the $k$ -fold cube root, namely $10^{\frac{1}{3^k}}.$

The product is $10$ raised to $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

So the value is $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

9.

En Halloween, $31$ niños entraron a la oficina del director pidiendo dulces. Se pueden clasificar en tres tipos: algunos siempre mienten; algunos siempre dicen la verdad; y algunos mienten y dicen la verdad de forma alterna. Los alternantes eligen arbitrariamente su primera respuesta, ya sea una mentira o la verdad, pero cada afirmación siguiente tiene el valor de verdad opuesto al de la anterior. El director hizo a todos las mismas tres preguntas en este orden.

“¿Eres alguien que dice la verdad?” El director dio un dulce a cada uno de los $22$ niños que respondieron que sí.

“¿Eres un alternante?” El director dio un dulce a cada uno de los $15$ niños que respondieron que sí.

“¿Eres un mentiroso?” El director dio un dulce a cada uno de los $9$ niños que respondieron que sí.

¿Cuántos dulces en total dio el director a los niños que siempre dicen la verdad?

On Halloween $31$ children walked into the principal’s office asking for candy. They can be classified into three types: some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order.

“Are you a truth-teller?” The principal gave a piece of candy to each of the $22$ children who answered yes.

“Are you an alternater?” The principal gave a piece of candy to each of the $15$ children who answered yes.

“Are you a liar?” The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?

$7$

$12$

$21$

$27$

$31$

Respuesta: A

Conceptos:veraces y mentirosos deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Determina cómo responde cada uno de los tres tipos a cada pregunta

Work out how each of the three types answers each question

Pista grande:

Solo los alternantes que mienten primero responden que sí a la última pregunta, lo que fija su cantidad

Only alternaters who lie first answer the last question yes, which pins down their count

Solución:

A “¿Eres alguien que dice la verdad?”, tanto los que dicen la verdad como los mentirosos responden que sí, y de los alternantes solo responden que sí quienes mienten en esta pregunta. A “¿Eres un alternante?”, los mentirosos responden que sí, y entre los alternantes solo responden que sí quienes dicen la verdad en esta pregunta. A “¿Eres un mentiroso?”, solo responden que sí los alternantes que mienten en esta pregunta.

Separa a los alternantes según su primera respuesta. Los que empiezan con una mentira responden (mentira, verdad, mentira), así que dicen que sí a las tres preguntas; los que empiezan con la verdad responden (verdad, mentira, verdad) y no dicen que sí a ninguna de las tres. Los $9$ síes de la última pregunta son exactamente los alternantes que mienten primero, así que hay $9$ de ellos.

Los $15$ síes de la segunda pregunta son los mentirosos más estos $9,$ así que hay $6$ mentirosos. Los $22$ síes de la primera pregunta son los que dicen la verdad más los mentirosos más los $9,$ así que los que dicen la verdad son $22-6-9=7.$

Los que dicen la verdad responden que sí solo a la primera pregunta, recibiendo un dulce cada uno, para un total de $7\cdot1=7$ dulces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

To “Are you a truth-teller?” the truth-tellers and liars both answer yes, and only alternaters who lie on this question answer yes. To “Are you an alternater?” the liars answer yes, and among alternaters only those telling the truth on this question answer yes. To “Are you a liar?” only alternaters lying on this question answer yes.

Split the alternaters by first response. Those starting with a lie answer (lie, truth, lie), so they say yes to all three questions; those starting truthful answer (truth, lie, truth) and say yes to none of the three. The $9$ yeses on the last question are exactly the lie-first alternaters, so there are $9$ of them.

The second question’s $15$ yeses are the liars plus these $9,$ so there are $6$ liars. The first question’s $22$ yeses are truth-tellers plus liars plus the $9,$ so the truth-tellers number $22-6-9=7.$

Truth-tellers answer yes only to the first question, receiving one candy each, for $7\cdot1=7$ pieces.

Thus, the correct answer is A.

10.

¿De cuántas maneras se pueden dividir los números del $1$ al $14$ en $7$ parejas de modo que en cada pareja el número mayor sea al menos $2$ veces el menor?

What is the number of ways the numbers from $1$ to $14$ can be split into $7$ pairs such that for each pair, the greater number is at least $2$ times the smaller number?

$108$

$120$

$126$

$132$

$144$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Un número $m$ puede ser el menor de su pareja solo si $2m\le14$

A number $m$ can be the smaller of its pair only if $2m\le14$

Pista grande:

Así que $1$ – $7$ son los elementos menores y $8$ – $14$ los mayores; asigna de forma voraz empezando por el número menor más restringido

So $1$ – $7$ are the smaller elements and $8$ – $14$ the larger; assign greedily from the tightest smaller number

Solución:

Cualquier número $8$ o mayor no puede ser un elemento menor (su doble supera $14$ ), así que $8$ – $14$ son todos elementos mayores y $1$ – $7$ son todos elementos menores.

Empareja cada menor $s$ con un mayor $g\ge2s.$ Procesando desde el más restrictivo: $s=7$ obliga a $g=14$ ( $1$ manera); luego $s=6$ tiene $\{12,13\}$ disponibles ( $2$ ); $s=5$ tiene $3;$ $s=4$ tiene $4;$ $s=3$ tiene $3;$ $s=2$ tiene $2;$ $s=1$ tiene $1.$

El número de emparejamientos es $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Any number $8$ or larger cannot be a smaller element (its double exceeds $14$ ), so $8$ – $14$ are all larger elements and $1$ – $7$ are all smaller elements.

Match each smaller $s$ to a larger $g\ge2s.$ Processing from the most restrictive: $s=7$ forces $g=14$ ( $1$ way); then $s=6$ has $\{12,13\}$ left ( $2$ ); $s=5$ has $3;$ $s=4$ has $4;$ $s=3$ has $3;$ $s=2$ has $2;$ $s=1$ has $1.$

The number of matchings is $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuál es el producto de todos los números reales $x$ tales que la distancia en la recta numérica entre $\log_6 x$ y $\log_6 9$ es el doble de la distancia en la recta numérica entre $\log_6 10$ y $1$ ?

What is the product of all real numbers $x$ such that the distance on the number line between $\log_6 x$ and $\log_6 9$ is twice the distance on the number line between $\log_6 10$ and $1?$

$10$

$18$

$25$

$36$

$81$

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo valor absoluto

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

$\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53$

Pista grande:

La condición es $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}$

The condition is $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}$

Solución:

La distancia del lado derecho es $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ así que su doble es $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Por lo tanto $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ lo que da $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ o $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ así que $x=25$ o $x=\dfrac{81}{25}.$

Su producto es $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The right-hand distance is $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ so twice it is $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Thus $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ giving $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ or $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ so $x=25$ or $x=\dfrac{81}{25}.$

Their product is $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ en el tetraedro regular $ABCD.$ ¿Cuánto vale $\cos(\angle CMD)$ ?

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD.$ What is $\cos(\angle CMD)?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:Geometría 3D mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

$CM$ y $DM$ son medianas de caras equiláteras con longitud de arista $1$

$CM$ and $DM$ are medians of equilateral faces with edge length $1$

Pista grande:

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ y $CD=1;$ aplica la Ley de Cosenos en $\triangle CMD$

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ and $CD=1;$ apply the Law of Cosines in $\triangle CMD$

Solución:

Toma longitud de arista $1.$ Como $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ los segmentos $CM$ y $DM$ son alturas de las caras equiláteras, cada una de longitud $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Además $CD=1.$

Por la Ley de Cosenos en $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take edge length $1.$ Since $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ segments $CM$ and $DM$ are altitudes of the equilateral faces, each of length $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Also $CD=1.$

By the Law of Cosines in $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

13.

Sea $\mathcal{R}$ la región del plano complejo formada por todos los números complejos $z$ que se pueden escribir como la suma de números complejos $z_1$ y $z_2,$ donde $z_1$ está en el segmento de extremos $3$ y $4i,$ y $z_2$ tiene módulo a lo sumo $1.$ ¿Qué entero es el más cercano al área de $\mathcal{R}$ ?

Let $\mathcal{R}$ be the region in the complex plane consisting of all complex numbers $z$ that can be written as the sum of complex numbers $z_1$ and $z_2,$ where $z_1$ lies on the segment with endpoints $3$ and $4i,$ and $z_2$ has magnitude at most $1.$ What integer is closest to the area of $\mathcal{R}?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: A

Conceptos:área fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

$\mathcal{R}$ es el conjunto de todos los puntos a distancia a lo sumo $1$ del segmento

$\mathcal{R}$ is the set of all points within distance $1$ of the segment

Pista grande:

El segmento tiene longitud $5,$ así que $\mathcal{R}$ es un rectángulo $5\times2$ rematado por dos semicírculos

The segment has length $5,$ so $\mathcal{R}$ is a $5\times2$ rectangle capped by two half-disks

Solución:

Agregar un disco de radio $1$ a cada punto del segmento barre todos los puntos a distancia a lo sumo $1$ de él. El segmento de $3$ a $4i$ tiene longitud $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Este “estadio” es un rectángulo $5\times2$ más dos semicírculos de radio $1,$ con área $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

El entero más cercano es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a disk of radius $1$ to every point of the segment sweeps out all points within distance $1$ of it. The segment from $3$ to $4i$ has length $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

This “stadium” is a $5\times2$ rectangle plus two half-disks of radius $1,$ with area $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

The closest integer is $13.$

Thus, the correct answer is A.

14.

¿Cuál es el valor de

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

donde $\log$ denota el logaritmo en base diez?

What is the value of

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

where $\log$ denotes the base-ten logarithm?

$\dfrac32$

$\dfrac74$

$2$

$\dfrac94$

$3$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $u=\log 2;$ entonces $\log 5=1-u$ y $\log 20=1+u$

Let $u=\log 2;$ then $\log 5=1-u$ and $\log 20=1+u$

Pista grande:

Además $\log 8=3u$ y $\log 0.25=-2u;$ usa $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Also $\log 8=3u$ and $\log 0.25=-2u;$ use $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Solución:

Sea $u=\log 2.$ Entonces $\log 5=1-u,$ $\log 20=1+u,$ $\log 8=3u,$ y $\log 0.25=-2u.$

Con $a=1-u,\ b=1+u,$ tenemos $a+b=2$ y $ab=1-u^2,$ así que $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}$

El último término es $(3u)(-2u)=-6u^2,$ así que el total es $2+6u^2-6u^2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=\log 2.$ Then $\log 5=1-u,$ $\log 20=1+u,$ $\log 8=3u,$ and $\log 0.25=-2u.$

With $a=1-u,\ b=1+u,$ we have $a+b=2$ and $ab=1-u^2,$ so $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}$

The last term is $(3u)(-2u)=-6u^2,$ so the total is $2+6u^2-6u^2=2.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Las raíces del polinomio $10x^3-39x^2+29x-6$ son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en $2$ unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial $10x^3-39x^2+29x-6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$ units. What is the volume of the new box?

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{42}{5}$

$\dfrac{81}{5}$

$30$

$48$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta volumen

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Por Vieta, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ $rst=\dfrac35$

By Vieta, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ $rst=\dfrac35$

Pista grande:

Desarrolla $(r+2)(s+2)(t+2)$ usando estas sumas simétricas

Expand $(r+2)(s+2)(t+2)$ using these symmetric sums

Solución:

Sean las raíces $r,s,t.$ Por las fórmulas de Vieta, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ y $rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.$

El nuevo volumen es $\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the roots be $r,s,t.$ By Vieta’s formulas, $r+s+t=\dfrac{39}{10},$ $rs+rt+st=\dfrac{29}{10},$ and $rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.$

The new volume is $\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

16.

Un número triangular es un entero positivo que se puede expresar en la forma $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ para algún entero positivo $n.$ Los tres números triangulares más pequeños que también son cuadrados perfectos son $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ y $t_{49}=1225=35^2.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del cuarto número triangular más pequeño que también es un cuadrado perfecto?

A triangular number is a positive integer that can be expressed in the form $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ for some positive integer $n.$ The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ and $t_{49}=1225=35^2.$ What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?

$6$

$9$

$12$

$18$

$27$

Respuesta: D

Conceptos:número triangular cuadrado perfecto recursión

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{n(n+1)}{2}=y^2$ como la ecuación de Pell $(2n+1)^2-8y^2=1$

Rewrite $\frac{n(n+1)}{2}=y^2$ as the Pell equation $(2n+1)^2-8y^2=1$

Pista grande:

Genera soluciones positivas sucesivas multiplicando $(2n+1)+y\sqrt8$ por $3+\sqrt8$

Generate successive positive solutions by multiplying $(2n+1)+y\sqrt8$ by $3+\sqrt8$

Solución:

Si $t_n=y^2,$ entonces $\frac{n(n+1)}{2}=y^2,$ o bien $(2n+1)^2-8y^2=1.$ Las soluciones positivas de Pell se obtienen sucesivamente multiplicando $(2n+1)+y\sqrt8$ por $3+\sqrt8.$

Comenzando con $(2n+1,y)=(3,1),$ obtenemos $(17,6),$ $(99,35),$ y luego $(577,204).$ Así, el cuarto valor tiene $n=288$ y es $204^2=41616.$

La suma de sus dígitos es $4+1+6+1+6=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $t_n=y^2,$ then $\frac{n(n+1)}{2}=y^2,$ or $(2n+1)^2-8y^2=1.$ The positive Pell solutions occur successively by multiplying $(2n+1)+y\sqrt8$ by $3+\sqrt8.$

Starting from $(2n+1,y)=(3,1),$ this gives $(17,6),$ $(99,35),$ and then $(577,204).$ Thus the fourth value has $n=288$ and equals $204^2=41616.$

The sum of its digits is $4+1+6+1+6=18.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Supón que $a$ es un número real tal que la ecuación

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

tiene más de una solución en el intervalo $(0,\pi).$ El conjunto de todos esos $a$ se puede escribir en la forma $(p,q)\cup(q,r),$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son números reales con $p\lt q\lt r.$ ¿Cuánto vale $p+q+r$ ?

Suppose $a$ is a real number such that the equation

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

has more than one solution in the interval $(0,\pi).$ The set of all such $a$ can be written in the form $(p,q)\cup(q,r),$ where $p,$ $q,$ and $r$ are real numbers with $p\lt q\lt r.$ What is $p+q+r?$

$-4$

$-1$

$0$

$1$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Usa $\sin 2x=2\sin x\cos x$ y $\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$

Use $\sin 2x=2\sin x\cos x$ and $\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$

Pista grande:

Después de dividir entre $\sin x,$ observa que $x=\dfrac{2\pi}{3}$ (donde $\cos x=-\tfrac12$ ) siempre es una solución

After dividing by $\sin x,$ note $x=\dfrac{2\pi}{3}$ (where $\cos x=-\tfrac12$ ) is always a solution

Solución:

Como $\sin x\ne0$ en $(0,\pi),$ divide entre $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

Cuando $\cos x=-\tfrac12$ (es decir, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) ambos lados se anulan, así que esto es una solución para todo $a.$ En otro caso podemos cancelar $1+2\cos x$ para obtener $a=2\cos x-1,$ o sea $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

Esto da una segunda solución en $(0,\pi)$ exactamente cuando $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ es decir $a\in(-3,1),$ y es distinta de $x=\tfrac{2\pi}{3}$ salvo que $a=-2.$

Así que hay más de una solución cuando $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ dando $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\sin x\ne0$ on $(0,\pi),$ divide by $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

When $\cos x=-\tfrac12$ (that is, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) both sides vanish, so this is a solution for every $a.$ Otherwise we may cancel $1+2\cos x$ to get $a=2\cos x-1,$ i.e. $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

This yields a second solution in $(0,\pi)$ exactly when $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ that is $a\in(-3,1),$ and it is distinct from $x=\tfrac{2\pi}{3}$ unless $a=-2.$

So more than one solution occurs for $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ giving $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Sea $T_k$ la transformación del plano coordenado que primero rota el plano $k$ grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego lo refleja respecto al eje $y$ . ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ tal que realizar la secuencia de transformaciones $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ $\ldots,$ $T_n$ devuelve el punto $(1,0)$ a sí mismo?

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ $\ldots,$ $T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

Respuesta: A

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Un punto en el ángulo $\theta$ es enviado por $T_k$ al ángulo $(180-k)-\theta$

A point at angle $\theta$ is sent by $T_k$ to angle $(180-k)-\theta$

Pista grande:

Rastrea el ángulo de $(1,0);$ considera también el caso impar de $n,$ donde la transformación neta es una reflexión

Track the angle of $(1,0);$ also consider odd $n,$ where the net map is a reflection

Solución:

Rotar un punto en el ángulo $\theta$ en $k^\circ$ da $\theta+k,$ y reflejar respecto al eje $y$ envía el ángulo $\phi$ a $180-\phi.$ Así que $T_k$ envía $\theta$ a $(180-k)-\theta.$

Partiendo de $(1,0)$ en el ángulo $0,$ aplicar $T_1,T_2,\ldots$ da los ángulos $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ Después de un número par $2m$ de pasos el ángulo es $-m,$ y después de un número impar $2m+1$ es $179-m.$

Para que el punto regrese, el ángulo debe ser un múltiplo de $360^\circ.$ El caso par requiere $m=360,$ es decir $n=720.$ El caso impar requiere $179-m=0,$ es decir $m=179$ y $n=359,$ donde la reflexión neta fija $(1,0).$

El menor $n$ de este tipo es $359.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rotating a point at angle $\theta$ by $k^\circ$ gives $\theta+k,$ and reflecting across the $y$ -axis sends angle $\phi$ to $180-\phi.$ So $T_k$ sends $\theta$ to $(180-k)-\theta.$

Starting from $(1,0)$ at angle $0,$ applying $T_1,T_2,\ldots$ gives angles $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ After an even number $2m$ of steps the angle is $-m,$ and after an odd number $2m+1$ it is $179-m.$

For the point to return, the angle must be a multiple of $360^\circ.$ The even case needs $m=360,$ i.e. $n=720.$ The odd case needs $179-m=0,$ i.e. $m=179$ and $n=359,$ where the net reflection fixes $(1,0).$

The least such $n$ is $359.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Supón que $13$ cartas numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $13$ están dispuestas en una fila. La tarea es recogerlas en orden numérico creciente, trabajando repetidamente de izquierda a derecha. En el ejemplo de abajo, las cartas $1,$ $2,$ $3$ se recogen en la primera pasada, $4$ y $5$ en la segunda pasada, $6$ en la tercera pasada, $7,$ $8,$ $9,$ $10$ en la cuarta pasada, y $11,$ $12,$ $13$ en la quinta pasada. ¿En cuántos de los $13!$ posibles ordenamientos de las cartas se recogerán las $13$ cartas en exactamente dos pasadas?

Suppose that $13$ cards numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $13$ are arranged in a row. The task is to pick them up in numerically increasing order, working repeatedly from left to right. In the example below, cards $1,$ $2,$ $3$ are picked up on the first pass, $4$ and $5$ on the second pass, $6$ on the third pass, $7,$ $8,$ $9,$ $10$ on the fourth pass, and $11,$ $12,$ $13$ on the fifth pass. For how many of the $13!$ possible orderings of the cards will the $13$ cards be picked up in exactly two passes?

$4082$

$4095$

$4096$

$8178$

$8191$

Respuesta: D

Conceptos:permutaciones reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Una nueva pasada comienza exactamente cuando el siguiente número a recoger está a la izquierda del anterior

A new pass begins exactly when the next number to pick up lies to the left of the previous one

Pista grande:

Dos pasadas significa que la sucesión de posiciones $\text{pos}(1),\ldots,\text{pos}(13)$ tiene exactamente un descenso

Two passes means the sequence of positions $\text{pos}(1),\ldots,\text{pos}(13)$ has exactly one descent

Solución:

Sea $\text{pos}(k)$ la posición de la carta $k.$ Se necesita una nueva pasada exactamente cuando $\text{pos}(k+1)\lt\text{pos}(k),$ así que el número de pasadas es uno más que el número de descensos en la sucesión $\text{pos}(1),\text{pos}(2),\ldots,\text{pos}(13).$

Para construir una permutación con a lo sumo un descenso, elige las entradas que van antes del posible descenso y escribe ambos bloques elegidos en orden creciente. Hay $2^{13}$ subconjuntos. Los $14$ segmentos iniciales $\varnothing,\{1\},\ldots,\{1,\ldots,13\}$ no producen ningún descenso; cualquier otro subconjunto produce una única permutación con un descenso. Por lo tanto, el conteo es $2^{13}-14=8178.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\text{pos}(k)$ be the position of card $k.$ A fresh pass is needed exactly when $\text{pos}(k+1)\lt\text{pos}(k),$ so the number of passes is one more than the number of descents in the sequence $\text{pos}(1),\text{pos}(2),\ldots,\text{pos}(13).$

To build a permutation with at most one descent, choose the entries before the possible descent and write both chosen blocks in increasing order. There are $2^{13}$ subsets. The $14$ initial segments $\varnothing,\{1\},\ldots,\{1,\ldots,13\}$ produce no descent; every other subset produces a unique permutation with one descent. Hence the count is $2^{13}-14=8178.$

Thus, the correct answer is D.

20.

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AD}$ y $\overline{BC},$ con $BC\lt AD$ y $AB=CD.$ Hay un punto $P$ en el plano tal que $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ y $PD=4.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{BC}{AD}$ ?

Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC\lt AD$ and $AB=CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ and $PD=4.$ What is $\dfrac{BC}{AD}?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica trapecio simetría

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ simétricos respecto al eje $y$

Put $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ symmetric about the $y$ -axis

Pista grande:

Tanto $PA^2-PD^2$ como $PB^2-PC^2$ son iguales a un múltiplo de la coordenada $x$ de $P$

Both $PA^2-PD^2$ and $PB^2-PC^2$ equal a multiple of the $x$ -coordinate of $P$

Solución:

Coloca el trapecio simétrico respecto al eje $y$ : $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ con $P=(x,y).$

Entonces $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ y $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividiendo se obtiene $\dfrac{p}{q}=3.$

Como $AD=2p$ y $BC=2q,$ obtenemos $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the trapezoid symmetric about the $y$ -axis: $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ with $P=(x,y).$

Then $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ and $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividing gives $\dfrac{p}{q}=3.$

Since $AD=2p$ and $BC=2q,$ we get $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Sea $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ ¿Cuál de los siguientes polinomios divide a $P(x)$ ?

Let $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ Which of the following polynomials divides $P(x)?$

$x^2-x+1$

$x^2+x+1$

$x^4+1$

$x^6-x^3+1$

$x^6+x^3+1$

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Un divisor $D(x)$ funciona si y solo si toda raíz $\zeta$ de $D$ satisface $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$

A divisor $D(x)$ works iff every root $\zeta$ of $D$ satisfies $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$

Pista grande:

Para $x^6+x^3+1$ las raíces son las raíces $9$ -ésimas primitivas de la unidad, así que $\zeta^3$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad

For $x^6+x^3+1$ the roots are primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^3$ is a primitive cube root of unity

Solución:

Si $\zeta$ es una raíz de un divisor, entonces se requiere $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ .

Las raíces de $x^6+x^3+1$ son las raíces $9$ -ésimas primitivas de la unidad, así que $\zeta^9=1.$ Reduciendo los exponentes módulo $9,$ $2022\equiv6$ y $1011\equiv3,$ lo que da $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Aquí $\omega=\zeta^3$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, así que esto es igual a $\omega^2+\omega+1=0.$

Las otras cuatro opciones fallan: sustituir sus raíces produce valores no nulos (por ejemplo, las raíces cúbicas primitivas de la unidad dan $P=3$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $\zeta$ is a root of a divisor, then $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ is required.

The roots of $x^6+x^3+1$ are the primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^9=1.$ Reducing exponents modulo $9,$ $2022\equiv6$ and $1011\equiv3,$ giving $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Here $\omega=\zeta^3$ is a primitive cube root of unity, so this equals $\omega^2+\omega+1=0.$

The other four options fail: substituting their roots yields nonzero values (for instance, the primitive cube roots of unity give $P=3$ ).

Thus, the correct answer is E.

22.

Sea $c$ un número real, y sean $z_1,$ $z_2$ los dos números complejos que satisfacen la cuadrática $z^2-cz+10=0.$ Los puntos $z_1,$ $z_2,$ $\dfrac{1}{z_1},$ y $\dfrac{1}{z_2}$ son los vértices de un cuadrilátero (convexo) $Q$ en el plano complejo. Cuando el área de $Q$ alcanza su valor máximo, ¿a cuál de los siguientes es $c$ el más cercano?

Let $c$ be a real number, and let $z_1,$ $z_2$ be the two complex numbers satisfying the quadratic $z^2-cz+10=0.$ Points $z_1,$ $z_2,$ $\dfrac{1}{z_1},$ and $\dfrac{1}{z_2}$ are the vertices of a (convex) quadrilateral $Q$ in the complex plane. When the area of $Q$ obtains its maximum value, $c$ is the closest to which of the following?

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

$6.5$

Respuesta: A

Conceptos:número complejo trapecio optimización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Para $c$ real con raíces complejas, $z_2=\overline{z_1}$ y $|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}$

For real $c$ with complex roots, $z_2=\overline{z_1}$ and $|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}$

Pista grande:

Los cuatro puntos forman un trapecio isósceles simétrico respecto al eje real; expresa su área en términos del ángulo $\theta$ de la raíz

The four points form an isosceles trapezoid symmetric about the real axis; write its area in terms of the root’s angle $\theta$

Solución:

Si las raíces no son reales, entonces $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ y $z_2=\overline{z_1},$ ya que $z_1z_2=10.$ Entonces $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ y $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.$

Los dos lados verticales de este trapecio tienen longitudes $2\sqrt{10}\sin\theta$ y $\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}},$ y su separación horizontal es $(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta.$ Por lo tanto su área es $\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,$ que se maximiza en $\theta=45^\circ.$

Entonces $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47,$ el más cercano a $4.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the roots are non-real, then $z_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta}$ and $z_2=\overline{z_1},$ since $z_1z_2=10.$ Then $\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}$ and $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.$

The two vertical sides of this trapezoid have lengths $2\sqrt{10}\sin\theta$ and $\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}},$ and their horizontal separation is $(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta.$ Hence its area is $\frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta,$ which is maximized at $\theta=45^\circ.$

Then $c=z_1+z_2$ $=2\sqrt{10}\cos45^\circ$ $=2\sqrt5\approx4.47,$ closest to $4.5.$

Thus, the correct answer is A.

23.

Sean $h_n$ y $k_n$ los únicos enteros positivos primos entre sí tales que

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Sea $L_n$ el mínimo común múltiplo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n.$ ¿Para cuántos enteros $n$ con $1\le n\le22$ se cumple $k_n\lt L_n$ ?

Let $h_n$ and $k_n$ be the unique relatively prime positive integers such that

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n.$ For how many integers $n$ with $1\le n\le22$ is $k_n\lt L_n?$

$0$

$3$

$7$

$8$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Escribiendo $H_n$ sobre $L_n,$ el denominador reducido es menor exactamente cuando un primo se cancela del numerador $\sum_k \frac{L_n}{k}$

Writing $H_n$ over $L_n,$ the reduced denominator is smaller exactly when a prime cancels from the numerator $\sum_k \frac{L_n}{k}$

Pista grande:

Para una potencia de primo $p^a$ con $p^a\le n\lt p^{a+1},$ verifica si $p$ divide a $\sum_{v_p(k)=a} \frac{L_n}{k}$

For a prime power $p^a$ with $p^a\le n\lt p^{a+1},$ check whether $p$ divides $\sum_{v_p(k)=a} \frac{L_n}{k}$

Solución:

$L_n$ siempre es divisible por $k_n,$ así que $k_n\lt L_n$ exactamente cuando algún primo $p$ divide tanto a $L_n$ como al numerador $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (es decir, se cancela un primo).

Para un primo $p$ con potencia máxima $p^a\le n,$ solo los términos con $v_p(k)=a$ mantienen a $p$ fuera de $\frac{L_n}{k};$ todos los demás son divisibles entre $p.$ Por tanto, $p$ se cancela si y solo si $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Aplicando esta prueba recursivamente con $H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}$ , obtenemos $k_n=L_n$ para $1\le n\le5,$ $k_n=\frac{L_n}{3}$ para $6\le n\le8,$ y de nuevo $k_n=L_n$ para $9\le n\le17.$ Finalmente, las razones $\frac{L_n}{k_n}$ para $n=18,19,20,21,22$ son $3,3,15,45,45,$ respectivamente. Así, la cancelación ocurre precisamente para $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ que son $8$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$L_n$ is always divisible by $k_n,$ so $k_n\lt L_n$ exactly when some prime $p$ divides both $L_n$ and the numerator $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (i.e. a prime cancels).

For a prime $p$ with maximal power $p^a\le n,$ only the terms with $v_p(k)=a$ keep $p$ out of $\frac{L_n}{k};$ all others are divisible by $p.$ So $p$ cancels iff $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Applying this test recursively with $H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}$ gives $k_n=L_n$ for $1\le n\le5,$ $k_n=\frac{L_n}{3}$ for $6\le n\le8,$ and $k_n=L_n$ again for $9\le n\le17.$ Finally, the ratios $\frac{L_n}{k_n}$ for $n=18,19,20,21,22$ are $3,3,15,45,45,$ respectively. Thus cancellation occurs precisely for $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ which is $8$ values.

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Cuántas cadenas de longitud $5$ formadas con los dígitos $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4$ hay tales que para cada $j\in\{1,2,3,4\},$ al menos $j$ de los dígitos son menores que $j$ ? (Por ejemplo, $02214$ satisface la condición porque contiene al menos $1$ dígito menor que $1,$ al menos $2$ dígitos menores que $2,$ al menos $3$ dígitos menores que $3,$ y al menos $4$ dígitos menores que $4.$ La cadena $23404$ no satisface la condición porque no contiene al menos $2$ dígitos menores que $2.$ )

How many strings of length $5$ formed from the digits $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4$ are there such that for each $j\in\{1,2,3,4\},$ at least $j$ of the digits are less than $j?$ (For example, $02214$ satisfies the condition because it contains at least $1$ digit less than $1,$ at least $2$ digits less than $2,$ at least $3$ digits less than $3,$ and at least $4$ digits less than $4.$ The string $23404$ does not satisfy the condition because it does not contain at least $2$ digits less than $2.$ )

$500$

$625$

$1089$

$1199$

$1296$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

“Al menos $j$ dígitos son menores que $j$ ” significa que el $j$ -ésimo dígito más pequeño es a lo sumo $j-1$

“At least $j$ digits are less than $j$ ” means the $j$ th smallest digit is at most $j-1$

Pista grande:

Estas son funciones de estacionamiento de longitud $5;$ usa el conteo de estacionamiento circular con $6$ lugares

These are parking functions of length $5;$ use the circular-parking count with $6$ spaces

Solución:

Ordenemos los cinco dígitos como $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ El requisito “al menos $j$ dígitos menores que $j$ ” equivale a $d_{(j)}\le j-1$ para $j=1,2,3,4,$ es decir, $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (con $d_{(5)}\le4$ automático).

Estas cadenas son exactamente las funciones de estacionamiento de longitud $5.$ Para contarlas, dispongamos $6$ lugares de estacionamiento en un círculo y hagamos que $5$ autos etiquetados elijan lugares preferidos arbitrarios. Cada auto avanza hasta el primer lugar libre. Entre las $6^5$ cadenas de preferencias, rotar todas las preferencias hace que el único lugar vacío recorra las $6$ posiciones. Por tanto, exactamente $\frac{6^5}{6}=6^4=1296$ cadenas dejan vacío un lugar especificado. Elegirlo como el sexto lugar extra produce precisamente las desigualdades ordenadas anteriores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Sort the five digits as $d_{(1)}\le d_{(2)}\le\cdots\le d_{(5)}.$ The requirement “at least $j$ digits less than $j$ ” is equivalent to $d_{(j)}\le j-1$ for $j=1,2,3,4,$ i.e. $d_{(1)}=0,\ d_{(2)}\le1,$ $\ d_{(3)}\le2,\ d_{(4)}\le3$ (with $d_{(5)}\le4$ automatic).

These strings are exactly the parking functions of length $5.$ To count them, arrange $6$ parking spaces in a circle and let $5$ labeled cars choose arbitrary preferred spaces. Each car moves forward to the first open space. Among the $6^5$ preference strings, rotating all preferences cycles the unique empty space through all $6$ positions. Therefore exactly $\frac{6^5}{6}=6^4=1296$ strings leave a specified space empty. Choosing that space as the extra sixth space gives precisely the sorted inequalities above.

Thus, the correct answer is E.

25.

Una circunferencia de radio entero $r$ está centrada en $(r,r).$ Segmentos de recta distintos de longitud $c_i$ conectan los puntos $(0,a_i)$ con $(b_i,0)$ para $1\le i\le14$ y son tangentes a la circunferencia, donde $a_i,$ $b_i,$ y $c_i$ son todos enteros positivos y $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ ¿Cuál es la razón $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ para el menor valor posible de $r$ ?

A circle with integer radius $r$ is centered at $(r,r).$ Distinct line segments of length $c_i$ connect points $(0,a_i)$ to $(b_i,0)$ for $1\le i\le14$ and are tangent to the circle, where $a_i,$ $b_i,$ and $c_i$ are all positive integers and $c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.$ What is the ratio $\dfrac{c_{14}}{c_1}$ for the least possible value of $r?$

$\dfrac{21}{5}$

$\dfrac{85}{13}$

$7$

$\dfrac{39}{5}$

$17$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Terna pitagórica conteo de factores

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ tangente a esta circunferencia hace que $r$ sea el inradio o el semiperímetro del triángulo rectángulo con catetos $a,b$

A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ tangent to this circle makes $r$ the inradius or the semiperimeter of the right triangle with legs $a,b$

Pista grande:

Para el caso del inradio, $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ así que los divisores positivos de $2r^2$ cuentan los segmentos orientados

For the inradius case, $(a-2r)(b-2r)=2r^2,$ so positive divisors of $2r^2$ count the oriented segments

Solución:

El círculo de centro $(r,r)$ y radio $r$ es tangente a ambos ejes. Un segmento de $(0,a)$ a $(b,0)$ con $a^2+b^2=c^2$ es tangente al círculo cuando $r$ es el inradio $\tfrac{a+b-c}{2}$ o el semiperímetro $\tfrac{a+b+c}{2}$ del triángulo rectángulo de catetos $a,b.$

En el caso del inradio, sean $x=a-2r$ y $y=b-2r.$ Entonces $xy=2r^2,$ y cada divisor positivo $x$ determina un segmento orientado, con $a=x+2r,$ $b=\frac{2r^2}{x}+2r,$ y $c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.$ Por tanto, hay exactamente $d(2r^2)$ segmentos de este tipo.

Para $r=1,2,3,4,5,$ estas cantidades son $2,4,6,6,6,$ y no hay caso de semiperímetro porque el menor triángulo rectángulo entero tiene semiperímetro $6.$ Para $r=6,$ $d(72)=12,$ y el triángulo $3$ - $4$ - $5$ aporta otros dos segmentos orientados. Por tanto, $6$ es el menor radio posible y produce exactamente $14$ segmentos.

Los dos segmentos del caso del semiperímetro tienen $c=5.$ En la familia del inradio, $c=x+\frac{72}{x}+12$ es máximo en $x=1$ o $72,$ y da $c=85.$ Así, $c_1=5,$ $c_{14}=85,$ y $\frac{c_{14}}{c_1}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle centered $(r,r)$ with radius $r$ is tangent to both axes. A segment from $(0,a)$ to $(b,0)$ with $a^2+b^2=c^2$ is tangent to it when $r$ equals either the inradius $\tfrac{a+b-c}{2}$ or the semiperimeter $\tfrac{a+b+c}{2}$ of the right triangle with legs $a,b.$

In the inradius case, put $x=a-2r$ and $y=b-2r.$ Then $xy=2r^2,$ and every positive divisor $x$ determines one oriented segment, with $a=x+2r,$ $b=\frac{2r^2}{x}+2r,$ and $c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.$ Thus there are exactly $d(2r^2)$ such segments.

For $r=1,2,3,4,5,$ these counts are $2,4,6,6,6,$ and no semiperimeter case is possible because the smallest integer right triangle has semiperimeter $6.$ At $r=6,$ $d(72)=12,$ and the $3$ - $4$ - $5$ triangle contributes two more oriented segments. Hence $6$ is the least possible radius and gives exactly $14$ segments.

The two semiperimeter segments have $c=5.$ In the inradius family, $c=x+\frac{72}{x}+12$ is largest at $x=1$ or $72,$ giving $c=85.$ Therefore $c_1=5,$ $c_{14}=85,$ and $\frac{c_{14}}{c_1}=17.$

Thus, the correct answer is E.

Problemas del 2022 AMC 12A

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande: