Question

Sea la distancia de taxi entre los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en el plano coordenado dada por $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ ¿Para cuántos puntos $P$ de coordenadas enteras la distancia de taxi entre $P$ y el origen es menor o igual que $20$ ?

Let the taxicab distance between points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ in the coordinate plane be given by $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20?$

$441$

$761$

$841$

$921$

$924$

Solución:

Para cada $k\ge1,$ el conjunto $|x|+|y|=k$ contiene exactamente $4k$ puntos de retícula, y $k=0$ da solo el origen.

El total es $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each $k\ge1,$ the set $|x|+|y|=k$ contains exactly $4k$ lattice points, and $k=0$ gives the single origin.

The total is $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años