Question

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $k$ para los que los polinomios $x^2 - 3x + 2$ y $x^2 - 5x + k$ tienen una raíz en común?

What is the sum of all possible values of $k$ for which the polynomials $x^2 - 3x + 2$ and $x^2 - 5x + k$ have a root in common?

$3$

$4$

$5$

$6$

$10$

Solución:

Como $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),$ sus raíces son $1$ y $2.$ Si $1$ es una raíz compartida entonces $1 - 5 + k = 0,$ así que $k = 4.$ Si $2$ es una raíz compartida entonces $4 - 10 + k = 0,$ así que $k = 6.$ La suma de los valores posibles es $4 + 6 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),$ its roots are $1$ and $2.$ If $1$ is a shared root then $1 - 5 + k = 0,$ so $k = 4.$ If $2$ is a shared root then $4 - 10 + k = 0,$ so $k = 6.$ The sum of possible values is $4 + 6 = 10.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años