Question

Para enteros positivos $m$ y $n$ tales que $m + 10 \lt n + 1,$ tanto la media como la mediana del conjunto $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ son iguales a $n.$ ¿Cuánto vale $m + n$ ?

For positive integers $m$ and $n$ such that $m + 10 \lt n + 1,$ both the mean and the median of the set $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ are equal to $n.$ What is $m + n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

La condición $m + 10 \lt n + 1$ obliga a que los seis valores estén listados en orden creciente

The condition $m + 10 \lt n + 1$ forces the six values to be listed in increasing order

Pista grande:

Iguala la mediana $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ y haz la media igual a $n,$ luego resuelve las dos ecuaciones

Set the median $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ and set the mean equal to $n,$ then solve the two equations

Solución:

Como $m + 10 \lt n + 1,$ los seis números ya están en orden creciente, así que la mediana es el promedio de los dos del medio: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ lo que da $m = n - 11.$ La condición de la media es $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ así que $7n - 16 = 6n$ y $n = 16.$ Entonces $m = 5,$ y $m + n = 21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $m + 10 \lt n + 1,$ the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ giving $m = n - 11.$ The mean condition is $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ so $7n - 16 = 6n$ and $n = 16.$ Then $m = 5,$ and $m + n = 21.$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 6

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años