Question

Se eligen dos números primos distintos entre $4$ y $18$ . Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

Solución:

Los primos entre $4$ y $18$ son $5, 7, 11, 13,$ y $17$ .

Para dos primos así, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ es un producto de dos números pares menos $1,$ y por tanto impar. Entre las opciones, solo $119$ es impar.

En efecto, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes between $4$ and $18$ are $5, 7, 11, 13,$ and $17.$

For two such primes, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ is a product of two even numbers minus $1,$ hence odd. Among the choices, only $119$ is odd.

Indeed, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años