Question

Joy tiene $30$ varillas delgadas, una de cada longitud entera desde $1$ cm hasta $30$ cm. Coloca sobre una mesa las varillas de longitudes $3$ cm, $7$ cm y $15$ cm. Luego quiere elegir una cuarta varilla que pueda poner junto con estas tres para formar un cuadrilátero de área positiva. ¿Cuántas de las varillas restantes puede elegir como cuarta varilla?

Joy has $30$ thin rods, one each of every integer length from $1$ cm through $30$ cm. She places the rods with lengths $3$ cm, $7$ cm, and $15$ cm on a table. She then wants to choose a fourth rod that she can put with these three to form a quadrilateral with positive area. How many of the remaining rods can she choose as the fourth rod?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Cuatro longitudes forman un cuadrilátero de área positiva si y solo si la más larga es estrictamente menor que la suma de las otras tres. Con una cuarta varilla de longitud $n,$ esto requiere $15\lt 3+7+n$ y $n\lt 3+7+15,$ así que $5\lt n\lt 25.$

Los enteros de $6$ a $24$ dan $19$ valores, pero las varillas de longitud $7$ y $15$ ya están en la mesa, dejando $19-2=17$ opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Four lengths form a quadrilateral with positive area if and only if the longest is strictly less than the sum of the other three. With a fourth rod of length $n,$ this requires $15\lt 3+7+n$ and $n\lt 3+7+15,$ so $5\lt n\lt 25.$

The integers from $6$ to $24$ give $19$ values, but the rods of length $7$ and $15$ are already on the table, leaving $19-2=17$ choices.

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años