Question

Un conjunto de datos consta de $6$ enteros positivos (no necesariamente distintos): $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ y $X.$ El promedio (media aritmética) de los $6$ números es igual a un valor del conjunto de datos. ¿Cuál es la suma de todos los valores positivos de $X$ ?

A data set consists of $6$ (not distinct) positive integers: $1,$ $7,$ $5,$ $2,$ $5,$ and $X.$ The average (arithmetic mean) of the $6$ numbers equals a value in the data set. What is the sum of all positive values of $X?$

$10$

$26$

$32$

$36$

$40$

Solución:

Los números conocidos suman $20,$ así que la media es $\dfrac{20+X}{6},$ que debe ser igual a un elemento del conjunto.

Igualándola a $5$ da $X=10;$ a $7$ da $X=22;$ y a $X$ mismo da $20+X=6X,$ así que $X=4.$ Los valores $1$ y $2$ dan $X$ negativo.

Los valores positivos son $10,22,4,$ que suman $36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The known numbers sum to $20,$ so the mean is $\dfrac{20+X}{6},$ which must equal an element of the set.

Setting it to $5$ gives $X=10;$ to $7$ gives $X=22;$ and to $X$ itself gives $20+X=6X,$ so $X=4.$ Values $1$ and $2$ give negative $X.$

The positive values are $10,22,4,$ summing to $36.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años