Question

El segundo y el cuarto término de una sucesión geométrica son $2$ y $6.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica radical

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Si el primer término es $a$ y la razón es $r,$ entonces $ar = 2$ y $ar^3 = 6$

If the first term is $a$ and the ratio is $r,$ then $ar = 2$ and $ar^3 = 6$

Pista grande:

Al dividir las dos ecuaciones se obtiene $r^2 = 3,$ así que $r = \pm\sqrt{3}$

Dividing the two equations gives $r^2 = 3,$ so $r = \pm\sqrt{3}$

Solución:

Sea $a$ el primer término y $r$ la razón común. Entonces $ar = 2$ y $ar^3 = 6,$ así que $r^2 = 3$ y $r = \pm\sqrt{3}.$

El primer término es $a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ La opción $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first term be $a$ and the common ratio $r.$ Then $ar = 2$ and $ar^3 = 6,$ so $r^2 = 3$ and $r = \pm\sqrt{3}.$

The first term is $a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ appears among the options.

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12B Problema 6

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años