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2020 AMC 12B Problema 6

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 6 del 2020 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:factorialfactorizacióncuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1270

6.

Para todos los enteros n≥9,n \ge 9, el valor de

(n+2)!−(n+1)!n!\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

¿es siempre cuál de las siguientes opciones?

For all integers n≥9,n \ge 9, the value of

(n+2)!−(n+1)!n!\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

is always which of the following?

un múltiplo de 44

a multiple of 44

un múltiplo de 1010

a multiple of 1010

un número primo

a prime number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Solución:

Factoriza (n+1)!(n + 1)! del numerador: (n+2)!−(n+1)!=(n+1)! [(n+2)−1]=(n+1)! (n+1). \begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}

Al dividir entre n!n! queda (n+1)! (n+1)n!\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!} =(n+1)(n+1)= (n + 1)(n + 1) =(n+1)2,= (n + 1)^2, que siempre es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor (n+1)!(n + 1)! from the numerator: (n+2)!−(n+1)!=(n+1)! [(n+2)−1]=(n+1)! (n+1). \begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}

Dividing by n!n! leaves (n+1)! (n+1)n!\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!} =(n+1)(n+1)= (n + 1)(n + 1) =(n+1)2,= (n + 1)^2, which is always a perfect square.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 6 en otros años

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