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2020 AMC 12B Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2020 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Para todos los enteros n≥9,n \ge 9, el valor de
(n+2)!−(n+1)!n!\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}
¿es siempre cuál de las siguientes opciones?
For all integers n≥9,n \ge 9, the value of
(n+2)!−(n+1)!n!\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}
is always which of the following?
un múltiplo de 44
a multiple of 44
un múltiplo de 1010
a multiple of 1010
un número primo
a prime number
un cuadrado perfecto
a perfect square
un cubo perfecto
a perfect cube
Respuesta: D
Conceptos:factorialfactorizacióncuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Factoriza (n+1)!(n + 1)! del numerador.
Factor (n+1)!(n + 1)! out of the numerator
Pista grande:
(n+2)!−(n+1)!(n + 2)! - (n + 1)! =(n+1)! [(n+2)−1]= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] =(n+1)! (n+1)= (n + 1)!\,(n + 1).
(n+2)!−(n+1)!(n + 2)! - (n + 1)! =(n+1)! [(n+2)−1]= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] =(n+1)! (n+1)= (n + 1)!\,(n + 1)
Solución:
Factoriza (n+1)!(n + 1)! del numerador: (n+2)!−(n+1)!=(n+1)! [(n+2)−1]=(n+1)! (n+1). \begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}
Al dividir entre n!n! queda (n+1)! (n+1)n!\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!} =(n+1)(n+1)= (n + 1)(n + 1) =(n+1)2,= (n + 1)^2, que siempre es un cuadrado perfecto.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Factor (n+1)!(n + 1)! from the numerator: (n+2)!−(n+1)!=(n+1)! [(n+2)−1]=(n+1)! (n+1). \begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}
Dividing by n!n! leaves (n+1)! (n+1)n!\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!} =(n+1)(n+1)= (n + 1)(n + 1) =(n+1)2,= (n + 1)^2, which is always a perfect square.
Thus, the correct answer is D.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

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