Question

En la figura plana que se muestra abajo, $3$ de los cuadrados unitarios han sido sombreados. ¿Cuál es el menor número de cuadrados unitarios adicionales que deben sombrearse para que la figura resultante tenga dos ejes de simetría?

In the plane figure shown below, $3$ of the unit squares have been shaded. What is the least number of additional unit squares that must be shaded so that the resulting figure has two lines of symmetry?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Para ambas simetrías, los ejes deben ser las líneas centrales vertical y horizontal de la cuadrícula de $5$ por $4$ . Cada cuadrado sombreado obliga entonces a sombrear los cuadrados que se obtienen al reflejarlo respecto a cada eje.

El cuadrado superior está fuera del centro, así que su grupo de reflexión tiene $4$ cuadrados, y requiere $3$ más. El cuadrado del medio está sobre la columna central, así que su grupo tiene $2$ cuadrados, y requiere $1$ más. El cuadrado inferior derecho tiene de nuevo un grupo de $4,$ y requiere $3$ más.

El menor número de cuadrados adicionales es $3 + 1 + 3 = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For both symmetries, the lines must be the vertical and horizontal center lines of the $5$ -by- $4$ grid. Every shaded square then forces the squares obtained by reflecting it across each line.

The top square lies off-center, so its reflection group has $4$ squares, requiring $3$ more. The middle square sits on the central column, so its group has $2$ squares, requiring $1$ more. The bottom-right square again has a group of $4,$ requiring $3$ more.

The least number of additional squares is $3 + 1 + 3 = 7.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años