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2002 AMC 12B Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Supón que aa y bb son números reales no nulos, y que la ecuación x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 tiene por soluciones aa y b.b. Entonces el par (a,b)(a,b) es
Suppose that aa and bb are nonzero real numbers, and that the equation x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 has solutions aa and b.b. Then the pair (a,b)(a,b) is
(−2,1)(-2,1)
(−1,2)(-1,2)
(1,−2)(1,-2)
(2,−1)(2,-1)
(4,4)(4,4)
Respuesta: C
Conceptos:Fórmulas de Vietacuadrática
Nivel de dificultad: 1190
Pista pequeña:
Si aa y bb son las raíces, entonces x2+ax+b=(x−a)(x−b)x^2+ax+b=(x-a)(x-b).
If aa and bb are the roots, then x2+ax+b=(x−a)(x−b)x^2+ax+b=(x-a)(x-b)
Pista grande:
Iguala coeficientes: a+b=−aa+b=-a y ab=b,ab=b, usando b≠0b\neq0.
Match coefficients: a+b=−aa+b=-a and ab=b,ab=b, using b≠0b\neq0
Solución:
Como aa y bb son las raíces, x2+ax+b=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab. \begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered} Igualar coeficientes da a+b=−aa+b=-a y ab=b.ab=b.
Como b≠0,b\neq0, la segunda ecuación da a=1,a=1, y luego a+b=−aa+b=-a da b=−2.b=-2. Así (a,b)=(1,−2).(a,b)=(1,-2).
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since aa and bb are the roots, x2+ax+b=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab. \begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered} Matching coefficients gives a+b=−aa+b=-a and ab=b.ab=b.
As b≠0,b\neq0, the second equation gives a=1,a=1, and then a+b=−aa+b=-a gives b=−2.b=-2. So (a,b)=(1,−2).(a,b)=(1,-2).
Thus, the correct answer is C.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

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