Question

Considera los siguientes $100$ conjuntos de $10$ elementos cada uno:

$\{1,2,3,\ldots,10\},$ $\{11,12,13,\ldots,20\},$ $\{21,22,23,\ldots,30\},$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}.$

¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de $7$ ?

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each:

$\{1,2,3,\ldots,10\},$ $\{11,12,13,\ldots,20\},$ $\{21,22,23,\ldots,30\},$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}.$

How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$40$

$42$

$43$

$49$

$50$

Solución:

Entre $1$ y $1000$ hay $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ múltiplos de $7.$ Como $10 \gt 7,$ cada bloque de $10$ enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de $7.$

Si $x$ bloques contienen dos y los restantes $100 - x$ contienen uno, entonces $2x + (100 - x) = 142,$ así que $x = 42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Among $1$ to $1000$ there are $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ multiples of $7.$ Because $10 \gt 7,$ each block of $10$ consecutive integers contains one or two multiples of $7.$

If $x$ blocks contain two and the remaining $100 - x$ contain one, then $2x + (100 - x) = 142,$ so $x = 42.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años