Question

En $\triangle ABC,$ tenemos $AC = BC = 7$ y $AB = 2.$ Supongamos que $D$ es un punto sobre la recta $AB$ tal que $B$ está entre $A$ y $D$ y $CD = 8.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $AC = BC = 7$ and $AB = 2.$ Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD = 8.$ What is $BD?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

Solución:

Sea $H$ el pie de la altura desde $C$ a la recta $AB.$ Como $\triangle ABC$ es isósceles con $AC = BC,$ $H$ es el punto medio de $AB,$ así que $AH = HB = 1.$

Entonces $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$ Aplicando el Teorema de Pitágoras a $\triangle CHD$ con $HD = HB + BD = 1 + BD$ se obtiene $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ así que $(1 + BD)^2 = 16.$

En consecuencia $1 + BD = 4,$ lo que significa que $BD = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to line $AB.$ Since $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC,$ $H$ is the midpoint of $AB,$ so $AH = HB = 1.$

Then $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$ Applying the Pythagorean Theorem to $\triangle CHD$ with $HD = HB + BD = 1 + BD$ gives $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ so $(1 + BD)^2 = 16.$

Therefore $1 + BD = 4,$ which means $BD = 3.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años