Question

Como se muestra en la figura de abajo, el punto $E$ está en el semiplano opuesto determinado por la recta $CD$ respecto al punto $A$ , de modo que $\angle CDE = 110^\circ.$ El punto $F$ está en $\overline{AD}$ de modo que $DE = DF,$ y $ABCD$ es un cuadrado. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle AFE$ ?

As shown in the figure below, point $E$ lies on the opposite half-plane determined by line $CD$ from point $A$ so that $\angle CDE = 110^\circ.$ Point $F$ lies on $\overline{AD}$ so that $DE = DF,$ and $ABCD$ is a square. What is the degree measure of $\angle AFE?$

$160$

$164$

$166$

$170$

$174$

Solución:

Como $ABCD$ es un cuadrado, $\angle ADC = 90^\circ.$ Dado que $E$ y $A$ están en lados opuestos de la recta $CD,$ el rayo $DE$ queda girado más allá de $DC,$ así que el ángulo del triángulo $DFE$ en $D$ (con $F$ en $\overline{AD}$ ) es $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Como $DF = DE,$ el triángulo $DFE$ es isósceles con ángulos base $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

Como $A,$ $F,$ $D$ son colineales, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $ABCD$ is a square, $\angle ADC = 90^\circ.$ Since $E$ and $A$ lie on opposite sides of line $CD,$ ray $DE$ is swung past $DC,$ so the angle of triangle $DFE$ at $D$ (with $F$ on $\overline{AD}$ ) is $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Since $DF = DE,$ triangle $DFE$ is isosceles with base angles $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

As $A,$ $F,$ $D$ are collinear, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años