Soluciones del 2021 AMC 12A Fall | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\frac{(2112 - 2021)^2}{169}?$

What is the value of $\frac{(2112 - 2021)^2}{169}?$

$7$

$21$

$49$

$64$

$91$

Conceptos:factorización cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

$2112 - 2021 = 91$ .

$2112 - 2021 = 91$

Pista grande:

$91 = 7 \times 13$ , y $169 = 13^2$ .

$91 = 7 \times 13$ and $169 = 13^2$

Solución:

Como $2112 - 2021 = 91 = 7 \cdot 13$ y $169 = 13^2,$ la fracción es $\dfrac{(7 \cdot 13)^2}{13^2} = 7^2 = 49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $2112 - 2021 = 91 = 7 \cdot 13$ and $169 = 13^2,$ the fraction is $\dfrac{(7 \cdot 13)^2}{13^2} = 7^2 = 49.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Menkara tiene una tarjeta de fichas de $4 \times 6$ . Si acorta la longitud de uno de los lados de esta tarjeta en $1$ pulgada, la tarjeta tendría un área de $18$ pulgadas cuadradas. ¿Cuál sería el área de la tarjeta en pulgadas cuadradas si en cambio acorta la longitud del otro lado en $1$ pulgada?

Menkara has a $4 \times 6$ index card. If she shortens the length of one side of this card by $1$ inch, the card would have area $18$ square inches. What would the area of the card be in square inches if instead she shortens the length of the other side by $1$ inch?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:rectángulo área

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Acortar un lado en $1$ para obtener área $18$ significa $3 \times 6 = 18,$ así que el lado de $4$ pulgadas fue el que se redujo

Shortening a side by $1$ to get area $18$ means $3 \times 6 = 18,$ so the $4$ -inch side was the one reduced

Pista grande:

En cambio, reduce el lado de $6$ pulgadas en $1,$ obteniendo $4 \times 5$

Instead reduce the $6$ -inch side by $1,$ giving $4 \times 5$

Solución:

La tarjeta original es $4 \times 6.$ Acortar un lado en $1$ pulgada da área $18,$ lo que requiere $3 \times 6 = 18,$ así que el lado reducido fue el de $4$ pulgadas.

Acortar en cambio el otro lado en $1$ pulgada da $4 \times 5 = 20$ pulgadas cuadradas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The original card is $4 \times 6.$ Shortening a side by $1$ inch gives area $18,$ which requires $3 \times 6 = 18,$ so the reduced side was the $4$ -inch side.

Shortening the other side by $1$ inch instead gives $4 \times 5 = 20$ square inches.

Thus, the correct answer is E.

3.

El señor Lopez puede elegir entre dos rutas para ir al trabajo. La ruta A mide $6$ millas de largo, y su velocidad promedio en esta ruta es de $30$ millas por hora. La ruta B mide $5$ millas de largo, y su velocidad promedio en esta ruta es de $40$ millas por hora, salvo en un tramo de $\tfrac{1}{2}$ milla en una zona escolar donde su velocidad promedio es de $20$ millas por hora. ¿Por cuántos minutos es la ruta B más rápida que la ruta A?

Mr. Lopez has a choice of two routes to get to work. Route A is $6$ miles long, and his average speed along this route is $30$ miles per hour. Route B is $5$ miles long, and his average speed along this route is $40$ miles per hour, except for a $\tfrac{1}{2}$ -mile stretch in a school zone where his average speed is $20$ miles per hour. By how many minutes is Route B quicker than Route A?

$2 \tfrac{3}{4}$

$3 \tfrac{3}{4}$

$4 \tfrac{1}{2}$

$5 \tfrac{1}{2}$

$6 \tfrac{3}{4}$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

La ruta A toma $\dfrac{6}{30}$ hora; conviértelo a minutos

Route A takes $\dfrac{6}{30}$ hour; convert to minutes

Pista grande:

La ruta B se divide en $4.5$ millas a $40$ mph y $0.5$ milla a $20$ mph

Route B splits into $4.5$ miles at $40$ mph and $0.5$ mile at $20$ mph

Solución:

La ruta A toma $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ hora $= 12$ minutos.

La ruta B tiene $4.5$ millas a $40$ mph y $0.5$ milla a $20$ mph, tomando $\dfrac{4.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}$ $= 0.1125 + 0.025$ $= 0.1375$ hora $= 8.25$ minutos.

La diferencia es $12 - 8.25 = 3.75 = 3\tfrac{3}{4}$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Route A takes $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$ hour $= 12$ minutes.

Route B has $4.5$ miles at $40$ mph and $0.5$ mile at $20$ mph, taking $\dfrac{4.5}{40} + \dfrac{0.5}{20}$ $= 0.1125 + 0.025$ $= 0.1375$ hour $= 8.25$ minutes.

The difference is $12 - 8.25 = 3.75 = 3\tfrac{3}{4}$ minutes.

Thus, the correct answer is B.

4.

El número de seis dígitos $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ es primo para un solo dígito $A.$ ¿Cuánto vale $A$ ?

The six-digit number $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ is prime for only one digit $A.$ What is $A?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:primo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

El número es $202100 + A;$ un $A$ par lo hace par, y $A = 5$ lo hace múltiplo de $5$

The number is $202100 + A;$ even $A$ makes it even, and $A = 5$ makes it a multiple of $5$

Pista grande:

Para $A = 1$ y $A = 7$ la suma de dígitos es múltiplo de $3,$ y $202103 = 11 \cdot 18373$ .

For $A = 1$ and $A = 7$ the digit sum is a multiple of $3,$ and $202103 = 11 \cdot 18373$

Solución:

El número es $202100 + A.$ Cualquier $A$ par lo hace par, y $A = 5$ lo hace divisible entre $5,$ así que $A$ debe ser impar y distinto de $5.$

Para $A = 1$ la suma de dígitos es $6$ (divisible entre $3$ ); para $A = 7$ la suma de dígitos es $12$ (divisible entre $3$ ); y $202103 = 11 \cdot 18373.$ Solo $202109$ supera todas las pruebas, y es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The number is $202100 + A.$ Any even $A$ makes it even, and $A = 5$ makes it divisible by $5,$ so $A$ must be odd and not $5.$

For $A = 1$ the digit sum is $6$ (divisible by $3$ ); for $A = 7$ the digit sum is $12$ (divisible by $3$ ); and $202103 = 11 \cdot 18373.$ Only $202109$ survives all tests, and it is prime.

Thus, the correct answer is E.

5.

El emú Elmer da $44$ zancadas iguales para caminar entre postes de teléfono consecutivos en un camino rural. El avestruz Oscar puede cubrir la misma distancia en $12$ saltos iguales. Los postes de teléfono están espaciados uniformemente, y el poste número $41$ a lo largo de este camino está exactamente a una milla ( $5280$ pies) del primer poste. ¿Cuánto más largo, en pies, es el salto de Oscar que la zancada de Elmer?

Elmer the emu takes $44$ equal strides to walk between consecutive telephone poles on a rural road. Oscar the ostrich can cover the same distance in $12$ equal leaps. The telephone poles are evenly spaced, and the $41$ st pole along this road is exactly one mile ( $5280$ feet) from the first pole. How much longer, in feet, is Oscar’s leap than Elmer’s stride?

$6$

$8$

$10$

$11$

$15$

Conceptos:conteo de postes razón y proporción

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Desde el primer poste hasta el poste número $41$ hay $40$ intervalos, así que cada intervalo mide $\dfrac{5280}{40}$ pies

From the first pole to the $41$ st pole there are $40$ gaps, so each gap is $\dfrac{5280}{40}$ feet

Pista grande:

La zancada de Elmer es un intervalo dividido entre $44;$ el salto de Oscar es un intervalo dividido entre $12$ .

Elmer’s stride is one gap divided by $44;$ Oscar’s leap is one gap divided by $12$

Solución:

Hay $40$ intervalos entre el primer poste y el poste número $41$ , así que cada intervalo mide $\dfrac{5280}{40} = 132$ pies.

La zancada de Elmer es $\dfrac{132}{44} = 3$ pies y el salto de Oscar es $\dfrac{132}{12} = 11$ pies, una diferencia de $11 - 3 = 8$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $40$ gaps between the first and $41$ st poles, so each gap is $\dfrac{5280}{40} = 132$ feet.

Elmer’s stride is $\dfrac{132}{44} = 3$ feet and Oscar’s leap is $\dfrac{132}{12} = 11$ feet, a difference of $11 - 3 = 8$ feet.

Thus, the correct answer is B.

6.

Como se muestra en la figura de abajo, el punto $E$ está en el semiplano opuesto determinado por la recta $CD$ respecto al punto $A$ , de modo que $\angle CDE = 110^\circ.$ El punto $F$ está en $\overline{AD}$ de modo que $DE = DF,$ y $ABCD$ es un cuadrado. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle AFE$ ?

As shown in the figure below, point $E$ lies on the opposite half-plane determined by line $CD$ from point $A$ so that $\angle CDE = 110^\circ.$ Point $F$ lies on $\overline{AD}$ so that $DE = DF,$ and $ABCD$ is a square. What is the degree measure of $\angle AFE?$

$160$

$164$

$166$

$170$

$174$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Alrededor del punto $D,$ el ángulo del triángulo es $360^\circ$ menos $\angle ADC+\angle CDE$

Around point $D,$ the triangle’s angle is $360^\circ$ minus $\angle ADC+\angle CDE$

Pista grande:

El triángulo $DFE$ es isósceles con $DF = DE,$ así que sus dos ángulos base son iguales

Triangle $DFE$ is isosceles with $DF = DE,$ so its two base angles are equal

Solución:

Como $ABCD$ es un cuadrado, $\angle ADC = 90^\circ.$ Dado que $E$ y $A$ están en lados opuestos de la recta $CD,$ el rayo $DE$ queda girado más allá de $DC,$ así que el ángulo del triángulo $DFE$ en $D$ (con $F$ en $\overline{AD}$ ) es $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Como $DF = DE,$ el triángulo $DFE$ es isósceles con ángulos base $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

Como $A,$ $F,$ $D$ son colineales, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $ABCD$ is a square, $\angle ADC = 90^\circ.$ Since $E$ and $A$ lie on opposite sides of line $CD,$ ray $DE$ is swung past $DC,$ so the angle of triangle $DFE$ at $D$ (with $F$ on $\overline{AD}$ ) is $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Since $DF = DE,$ triangle $DFE$ is isosceles with base angles $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

As $A,$ $F,$ $D$ are collinear, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Una escuela tiene $100$ estudiantes y $5$ profesores. En el primer período, cada estudiante toma una clase, y cada profesor enseña una clase. Las inscripciones en las clases son $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ y $5.$ Sea $t$ el valor promedio obtenido si se elige un profesor al azar y se anota el número de estudiantes en su clase. Sea $s$ el valor promedio obtenido si se elige un estudiante al azar y se anota el número de estudiantes en su clase, incluido el estudiante. ¿Cuánto vale $t - s$ ?

A school has $100$ students and $5$ teachers. In the first period, each student is taking one class, and each teacher is teaching one class. The enrollments in the classes are $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ and $5.$ Let $t$ be the average value obtained if a teacher is picked at random and the number of students in their class is noted. Let $s$ be the average value obtained if a student was picked at random and the number of students in their class, including the student, is noted. What is $t - s?$

$-18.5$

$-13.5$

$0$

$13.5$

$18.5$

Conceptos:media valor esperado

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

$t$ es un promedio simple sobre las $5$ clases: $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$ .

$t$ is a plain average over the $5$ classes: $\dfrac{50+20+20+5+5}{5}$

Pista grande:

Para $s,$ cada clase de tamaño $n$ se cuenta $n$ veces: $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$ .

For $s,$ each class of size $n$ is counted $n$ times: $s = \dfrac{\sum n^2}{100}$

Solución:

El promedio de los profesores es $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20.$

El promedio de los estudiantes pondera el tamaño de cada clase por cuántos estudiantes hay en ella: $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}$

Así que $t - s = 20 - 33.5 = -13.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The teacher average is $t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}$ $= \dfrac{100}{5} = 20.$

The student average weights each class size by how many students are in it: $\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}$

So $t - s = 20 - 33.5 = -13.5.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Sea $M$ el mínimo común múltiplo de todos los enteros de $10$ a $30,$ inclusive. Sea $N$ el mínimo común múltiplo de $M,$ $32,$ $33,$ $34,$ $35,$ $36,$ $37,$ $38,$ $39,$ y $40.$ ¿Cuál es el valor de $\dfrac{N}{M}$ ?

Let $M$ be the least common multiple of all the integers $10$ through $30,$ inclusive. Let $N$ be the least common multiple of $M,$ $32,$ $33,$ $34,$ $35,$ $36,$ $37,$ $38,$ $39,$ and $40.$ What is the value of $\dfrac{N}{M}?$

$1$

$2$

$37$

$74$

$2886$

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

$M$ ya contiene $2^4, 3^3, 5^2, 7,$ y todos los primos hasta $29;$ verifica qué añaden $32$ a $40$

$M$ already contains $2^4, 3^3, 5^2, 7,$ and all primes up to $29;$ check what $32$ – $40$ add

Pista grande:

$32 = 2^5$ eleva la potencia de $2,$ y $37$ es un nuevo primo; nada más es nuevo

$32 = 2^5$ raises the power of $2,$ and $37$ is a new prime; nothing else is new

Solución:

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contiene $2^4$ (de $16$ ), $3^3$ (de $27$ ), $5^2$ (de $25$ ), $7,$ y todo primo hasta $29.$

Entre $32, \ldots, 40,$ las únicas contribuciones nuevas son $32 = 2^5,$ que eleva la potencia de $2$ de $2^4$ a $2^5,$ y el nuevo primo $37.$ Todo lo demás se factoriza en primos y potencias que ya están en $M.$

Por lo tanto $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contains $2^4$ (from $16$ ), $3^3$ (from $27$ ), $5^2$ (from $25$ ), $7,$ and every prime up to $29.$

Among $32, \ldots, 40,$ the only new contributions are $32 = 2^5,$ which raises the power of $2$ from $2^4$ to $2^5,$ and the new prime $37.$ Everything else factors into primes and powers already in $M.$

Therefore $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Un prisma rectangular recto cuya área de superficie y volumen son numéricamente iguales tiene longitudes de arista $\log_2 x,$ $\log_3 x,$ y $\log_4 x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

A right rectangular prism whose surface area and volume are numerically equal has edge lengths $\log_2 x,$ $\log_3 x,$ and $\log_4 x.$ What is $x?$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{6}$

$24$

$48$

$576$

Conceptos:área de superficie volumen logaritmo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Con aristas $a, b, c,$ la ecuación $abc = 2(ab + bc + ca)$ se divide para dar $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

With edges $a, b, c,$ the equation $abc = 2(ab + bc + ca)$ divides to $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

Pista grande:

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$ .

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$

Solución:

Sea $a = \log_2 x,$ $b = \log_3 x,$ $c = \log_4 x.$ Que el área de superficie sea igual al volumen da $2(ab + bc + ca) = abc.$ Dividiendo entre $abc,$ $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).$

Como $\dfrac{1}{a} = \log_x 2,$ etcétera, la suma es $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.$ Así $1 = 2\log_x 24,$ por lo que $\log_x 24 = \tfrac{1}{2},$ lo que significa $x^{\frac{1}{2}} = 24$ y $x = 576.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a = \log_2 x,$ $b = \log_3 x,$ $c = \log_4 x.$ Surface area equals volume gives $2(ab + bc + ca) = abc.$ Dividing by $abc,$ $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).$

Since $\dfrac{1}{a} = \log_x 2,$ etc., the sum is $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.$ Thus $1 = 2\log_x 24,$ so $\log_x 24 = \tfrac{1}{2},$ meaning $x^{\frac{1}{2}} = 24$ and $x = 576.$

Thus, the correct answer is E.

10.

La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_9.$ ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $5$ ?

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_9.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:aritmética modular base numérica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

$9 \equiv -1 \pmod 5,$ así que $9^k \equiv (-1)^k \pmod 5$

$9 \equiv -1 \pmod 5,$ so $9^k \equiv (-1)^k \pmod 5$

Pista grande:

Toma la suma alternada de los dígitos en base nueve (desde la derecha)

Take the alternating sum of the base-nine digits (from the right)

Solución:

Como $9 \equiv -1 \pmod 5,$ cada potencia $9^k \equiv (-1)^k,$ así que $N$ es congruente con la suma alternada de sus dígitos en base nueve.

Los dígitos no nulos, con sus posiciones desde la derecha, son $2$ (posición $0$ ), $5$ (posición $1$ ), $6$ (posición $6$ ), $7$ (posición $9$ ), y $2$ (posición $10$ ). La suma alternada es $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $9 \equiv -1 \pmod 5,$ each power $9^k \equiv (-1)^k,$ so $N$ is congruent to the alternating sum of its base-nine digits.

The nonzero digits, with their positions from the right, are $2$ (position $0$ ), $5$ (position $1$ ), $6$ (position $6$ ), $7$ (position $9$ ), and $2$ (position $10$ ). The alternating sum is $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Considera dos círculos concéntricos de radio $17$ y $19.$ El círculo más grande tiene una cuerda, de la cual la mitad queda dentro del círculo más pequeño. ¿Cuál es la longitud de la cuerda en el círculo más grande?

Consider two concentric circles of radius $17$ and $19.$ The larger circle has a chord, half of which lies inside the smaller circle. What is the length of the chord in the larger circle?

$12\sqrt{2}$

$10\sqrt{3}$

$\sqrt{17 \cdot 19}$

$18$

$8\sqrt{6}$

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Sea la cuerda a distancia $d$ del centro. Su semilongitud es $\sqrt{19^2 - d^2},$ y la parte dentro del círculo pequeño tiene semilongitud $\sqrt{17^2 - d^2}$ .

Let the chord be at distance $d$ from the center. Its half-length is $\sqrt{19^2 - d^2},$ and the part inside the small circle has half-length $\sqrt{17^2 - d^2}$

Pista grande:

“La mitad queda dentro” significa que la porción interior es igual a la mitad de toda la cuerda: $2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}$ .

“Half lies inside” means the inside portion equals half the whole chord: $2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}$

Solución:

Sea la cuerda a distancia $d$ del centro común. Su longitud total es $2\sqrt{361 - d^2},$ y la porción dentro del círculo más pequeño tiene longitud $2\sqrt{289 - d^2}.$

Como la mitad de la cuerda queda dentro, $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.$ Elevando al cuadrado da $4(289 - d^2) = 361 - d^2,$ así que $3d^2 = 795$ y $d^2 = 265.$

La longitud de la cuerda es $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the chord lie at distance $d$ from the common center. Its total length is $2\sqrt{361 - d^2},$ and the portion inside the smaller circle has length $2\sqrt{289 - d^2}.$

Since half the chord lies inside, $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.$ Squaring gives $4(289 - d^2) = 361 - d^2,$ so $3d^2 = 795$ and $d^2 = 265.$

The chord length is $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

¿Cuál es el número de términos con coeficientes racionales entre los $1001$ términos en la expansión de $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms in the expansion of $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

$0$

$166$

$167$

$500$

$501$

Conceptos:teorema del binomio divisibilidad

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El término de índice $k$ lleva $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};$ la racionalidad requiere que $1000 - k$ sea múltiplo de $3$ y que $k$ sea múltiplo de $2$ .

The term for index $k$ carries $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};$ rationality needs $1000 - k$ to be a multiple of $3$ and $k$ to be a multiple of $2$

Pista grande:

Esto obliga a $k \equiv 1 \pmod 3$ y $k$ par, es decir, $k \equiv 4 \pmod 6$ .

These force $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, i.e. $k \equiv 4 \pmod 6$

Solución:

El término general es $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ cuyo coeficiente contiene $2^{\frac{1000-k}{3}}$ y $3^{\frac{k}{2}}.$ Esto es racional exactamente cuando $(1000 - k)$ es múltiplo de $3$ y $k$ es par.

Como $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ necesitamos $k \equiv 1 \pmod 3$ y $k$ par, lo que se combina en $k \equiv 4 \pmod 6.$ Los valores válidos $k = 4, 10, \ldots, 1000$ suman $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The general term is $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ whose coefficient contains $2^{\frac{1000-k}{3}}$ and $3^{\frac{k}{2}}.$ This is rational exactly when $(1000 - k)$ is a multiple of $3$ and $k$ is even.

Since $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ we need $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, which combine to $k \equiv 4 \pmod 6.$ The valid values $k = 4, 10, \ldots, 1000$ number $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Thus, the correct answer is C.

13.

La bisectriz del ángulo agudo formado en el origen por las gráficas de las rectas $y = x$ y $y = 3x$ tiene ecuación $y = kx.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The angle bisector of the acute angle formed at the origin by the graphs of the lines $y = x$ and $y = 3x$ has equation $y = kx.$ What is $k?$

$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$2$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

Conceptos:bisectriz vector racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Una dirección de la bisectriz es la suma de los vectores unitarios a lo largo de las dos rectas: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}$

A bisector direction is the sum of unit vectors along the two lines: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}$

Pista grande:

$k$ es el cociente (segunda componente)/(primera componente); racionaliza el resultado

$k$ is the ratio (second component)/(first component); rationalize the result

Solución:

La bisectriz apunta a lo largo de la suma de los vectores unitarios de las dos rectas: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}.$ Su pendiente es $k = \frac{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt5 + 3}{\sqrt5 + 1}.$

Multiplicando numerador y denominador por $\sqrt5 - 1$ da $\dfrac{(\sqrt5 + 3)(\sqrt5 - 1)}{4}$ $= \dfrac{2 + 2\sqrt5}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The bisector points along the sum of the unit vectors of the two lines: $\dfrac{(1,1)}{\sqrt2} + \dfrac{(1,3)}{\sqrt{10}}.$ Its slope is $k = \frac{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\tfrac{1}{\sqrt2} + \tfrac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt5 + 3}{\sqrt5 + 1}.$

Multiplying numerator and denominator by $\sqrt5 - 1$ gives $\dfrac{(\sqrt5 + 3)(\sqrt5 - 1)}{4}$ $= \dfrac{2 + 2\sqrt5}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

14.

En la figura, el hexágono equilátero $ABCDEF$ tiene tres ángulos interiores agudos no adyacentes que miden cada uno $30^\circ.$ El área encerrada del hexágono es $6\sqrt{3}.$ ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

In the figure, equilateral hexagon $ABCDEF$ has three nonadjacent acute interior angles that each measure $30^\circ.$ The enclosed area of the hexagon is $6\sqrt{3}.$ What is the perimeter of the hexagon?

$4$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

$12\sqrt{3}$

Conceptos:descomposición de áreas trigonometría

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea el lado $s.$ Las tres puntas de $30^\circ$ son triángulos isósceles con catetos $s;$ se apoyan en los lados del triángulo interior formado por los tres vértices reflejos

Let the side be $s.$ The three $30^\circ$ tips are isosceles triangles with legs $s;$ they sit on the sides of the inner triangle formed by the three reflex vertices

Pista grande:

Cada punta tiene área $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ,$ y el triángulo equilátero interior tiene lado $2s\sin 15^\circ$ .

Each tip has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ,$ and the inner equilateral triangle has side $2s\sin 15^\circ$

Solución:

Sea la longitud del lado común $s.$ Los tres vértices agudos son las puntas de triángulos isósceles con dos lados $s$ y ápice $30^\circ;$ cada uno tiene área $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

Los tres vértices reflejos forman un triángulo equilátero interior con lado $2s\sin 15^\circ,$ cuya área es $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Usando $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ el área total es $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Igualando $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ da $s^2 = 12,$ así que $s = 2\sqrt3$ y el perímetro es $6s = 12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the common side length be $s.$ The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides $s$ and apex $30^\circ;$ each has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side $2s\sin 15^\circ,$ whose area is $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Using $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ the total area is $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Setting $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ gives $s^2 = 12,$ so $s = 2\sqrt3$ and the perimeter is $6s = 12\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Recuerda que el conjugado del número complejo $w = a + bi,$ donde $a$ y $b$ son números reales e $i = \sqrt{-1},$ es el número complejo $\overline{w} = a - bi.$ Para cualquier número complejo $z,$ sea $f(z) = 4i\overline{z}.$ El polinomio $P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1$ tiene cuatro raíces complejas: $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ y $z_4.$ Sea $\begin{aligned} &Q(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 \\ &\quad {}+ Cz + D \end{aligned}$ el polinomio cuyas raíces son $f(z_1),$ $f(z_2),$ $f(z_3),$ y $f(z_4),$ donde los coeficientes $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son números complejos. ¿Cuánto vale $B + D$ ?

Recall that the conjugate of the complex number $w = a + bi,$ where $a$ and $b$ are real numbers and $i = \sqrt{-1},$ is the complex number $\overline{w} = a - bi.$ For any complex number $z,$ let $f(z) = 4i\overline{z}.$ The polynomial $P(z) = z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1$ has four complex roots: $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z_4.$ Let $\begin{aligned} &Q(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 \\ &\quad {}+ Cz + D \end{aligned}$ be the polynomial whose roots are $f(z_1),$ $f(z_2),$ $f(z_3),$ and $f(z_4),$ where the coefficients $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are complex numbers. What is $B + D?$

$-304$

$-208$

$12i$

$208$

$304$

Conceptos:Fórmulas de Vieta número complejo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Las funciones simétricas elementales de $\overline{z_j}$ son los conjugados de las de $z_j;$ todos los coeficientes de $P$ son reales, así que esas sumas simétricas son reales

The elementary symmetric functions of $\overline{z_j}$ are the conjugates of those of $z_j;$ all of $P$ ’s coefficients are real, so those symmetric sums are real

Pista grande:

$B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ , y $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j}$

$B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ and $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j}$

Solución:

Por Vieta en $P,$ $\sum_{i\lt j} z_iz_j = 3$ y $\prod z_j = 1,$ ambos reales, así que sus conjugados también son $3$ y $1.$

Las raíces de $Q$ son $4i\overline{z_j}.$ Entonces $B$ es la suma de los productos de pares: $B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ $= -16 \cdot 3 = -48.$ Y $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j} = 256 \cdot 1 = 256.$

Así que $B + D = -48 + 256 = 208.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta on $P,$ $\sum_{i\lt j} z_iz_j = 3$ and $\prod z_j = 1,$ both real, so their conjugates are also $3$ and $1.$

The roots of $Q$ are $4i\overline{z_j}.$ Then $B$ is the sum of products of pairs: $B = (4i)^2 \sum_{i\lt j}\overline{z_i}\,\overline{z_j}$ $= -16 \cdot 3 = -48.$ And $D = (4i)^4 \prod \overline{z_j} = 256 \cdot 1 = 256.$

So $B + D = -48 + 256 = 208.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Una organización tiene $30$ empleados, $20$ de los cuales tienen una computadora de la marca A mientras que los otros $10$ tienen una computadora de la marca B. Por seguridad, las computadoras solo pueden conectarse entre sí y solo mediante cables. Los cables solo pueden conectar una computadora de la marca A con una computadora de la marca B. Los empleados pueden comunicarse entre sí si sus computadoras están directamente conectadas por un cable o transmitiendo mensajes a través de una serie de computadoras conectadas. Inicialmente, ninguna computadora está conectada a otra. Un técnico selecciona arbitrariamente una computadora de cada marca e instala un cable entre ellas, siempre que no haya ya un cable entre ese par. El técnico se detiene una vez que todos los empleados pueden comunicarse entre sí. ¿Cuál es el número máximo posible de cables usados?

An organization has $30$ employees, $20$ of whom have a brand A computer while the other $10$ have a brand B computer. For security, the computers can only be connected to each other and only by cables. The cables can only connect a brand A computer to a brand B computer. Employees can communicate with each other if their computers are directly connected by a cable or by relaying messages through a series of connected computers. Initially, no computer is connected to any other. A technician arbitrarily selects one computer of each brand and installs a cable between them, provided there is not already a cable between that pair. The technician stops once every employee can communicate with each other. What is the maximum possible number of cables used?

$190$

$191$

$192$

$195$

$196$

Conceptos:teoría de grafos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Para retrasar la conectividad, mantén el grafo desconectado el mayor tiempo posible, y luego un cable final une todo

To delay connectivity, keep the graph disconnected as long as possible, then one final cable joins everything

Pista grande:

La mayor cantidad de aristas estando aún desconectado es un grafo bipartito completo sobre $19$ de la marca A y $10$ de la marca B, dejando aislada una computadora de la marca A

The most edges while still disconnected is a complete bipartite graph on $19$ brand A and $10$ brand B, leaving one brand A computer isolated

Solución:

El técnico sigue agregando cables hasta que el grafo se vuelve conexo. Para maximizar la cuenta, mantén la red desconectada el mayor tiempo posible: deja aislada una sola computadora de la marca A y conecta completamente las $19$ computadoras restantes de la marca A con las $10$ computadoras de la marca B.

Eso usa $19 \cdot 10 = 190$ cables estando aún desconectado. El siguiente cable conecta la última computadora de la marca A, uniendo a todos, para un total de $190 + 1 = 191.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The technician keeps adding cables until the graph becomes connected. To maximize the count, keep the network disconnected for as long as possible: leave a single brand A computer isolated and fully connect the remaining $19$ brand A computers to all $10$ brand B computers.

That uses $19 \cdot 10 = 190$ cables while still disconnected. The next cable connects the last brand A computer, joining everyone, for a total of $190 + 1 = 191.$

Thus, the correct answer is B.

17.

¿Para cuántos pares ordenados $(b, c)$ de enteros positivos ni $x^2 + bx + c = 0$ ni $x^2 + cx + b = 0$ tienen dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b, c)$ of positive integers does neither $x^2 + bx + c = 0$ nor $x^2 + cx + b = 0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

“Sin dos soluciones reales distintas” significa que cada discriminante es $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ y $c^2 \le 4b$ .

“No two distinct real solutions” means each discriminant is $\le 0:$ $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b$

Pista grande:

Multiplicando da $b^2c^2 \le 16bc,$ así que $bc \le 16;$ prueba enteros positivos pequeños

Multiplying gives $b^2c^2 \le 16bc,$ so $bc \le 16;$ test small positive integers

Solución:

Ninguna cuadrática tiene dos raíces reales distintas exactamente cuando ambos discriminantes son no positivos: $b^2 \le 4c$ y $c^2 \le 4b.$

Al combinar $c\ge \frac{b^2}{4}$ con $c\le2\sqrt b$ , obtenemos $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ así que $b\le4.$ Comprobando: $b = 1$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ da $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ da $c = 3;$ y $b = 4$ da $c = 4.$

Estos son $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ : $6$ pares ordenados.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive: $b^2 \le 4c$ and $c^2 \le 4b.$

Combining $c\ge \frac{b^2}{4}$ with $c\le2\sqrt b$ gives $b^{\frac{3}{2}}\le8,$ so $b\le4.$ Checking: $b = 1$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 2$ gives $c \in \{1,2\};$ $b = 3$ gives $c = 3;$ and $b = 4$ gives $c = 4.$

That is $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,3),$ $(4,4)$ — $6$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

18.

Cada una de $20$ pelotas se lanza independientemente y al azar a uno de $5$ recipientes. Sea $p$ la probabilidad de que algún recipiente termine con $3$ pelotas, otro con $5$ pelotas, y los otros tres con $4$ pelotas cada uno. Sea $q$ la probabilidad de que cada recipiente termine con $4$ pelotas. ¿Cuánto vale $\dfrac{p}{q}$ ?

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Ambas probabilidades comparten el mismo denominador $5^{20}$ , así que $\dfrac{p}{q}$ es un cociente de conteos

Both probabilities share the same $5^{20}$ denominator, so $\dfrac{p}{q}$ is a ratio of counts

Pista grande:

$q$ usa $\dfrac{20!}{(4!)^5};$ $p$ usa $5\cdot 4$ elecciones de los recipientes especiales por $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}$

$q$ uses $\dfrac{20!}{(4!)^5};$ $p$ uses $5\cdot 4$ choices of the special bins times $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}$

Solución:

Ambas probabilidades se dividen entre $5^{20},$ así que $\dfrac{p}{q}$ es un cociente de conteos de disposiciones.

Para $q,$ todos los recipientes tienen $4:$ $\dfrac{20!}{(4!)^5}.$ Para $p,$ elige cuál recipiente tiene $3$ y cuál tiene $5$ de $5\cdot 4 = 20$ maneras, por $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both probabilities divide by $5^{20},$ so $\dfrac{p}{q}$ is a ratio of arrangement counts.

For $q,$ all bins have $4:$ $\dfrac{20!}{(4!)^5}.$ For $p,$ choose which bin has $3$ and which has $5$ in $5\cdot 4 = 20$ ways, times $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

19.

Sea $x$ el menor número real mayor que $1$ tal que $\sin(x) = \sin(x^2),$ donde los argumentos están en grados. ¿Cuánto vale $x$ redondeado hacia arriba al entero más cercano?

Let $x$ be the least real number greater than $1$ such that $\sin(x) = \sin(x^2),$ where the arguments are in degrees. What is $x$ rounded up to the closest integer?

$10$

$13$

$14$

$19$

$20$

Conceptos:trigonometría cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

$\sin x = \sin x^2$ requiere $x^2 = x + 360k$ o $x^2 = 180 - x + 360k$ para un entero $k$

$\sin x = \sin x^2$ requires $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for an integer $k$

Pista grande:

El menor $x \gt 1$ proviene de $x^2 = 180 - x$ (con $k = 0$ )

The smallest $x \gt 1$ comes from $x^2 = 180 - x$ (with $k = 0$ )

Solución:

Senos iguales requieren $x^2 = x + 360k$ o $x^2 = 180 - x + 360k$ para algún entero $k.$

La familia $x^2 = x + 360k$ supera por primera vez $1$ en $k = 1,$ dando $x \approx 19.5.$ La familia $x^2 = 180 - x + 360k$ con $k = 0$ da $x^2 + x - 180 = 0,$ así que $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ que es menor.

Redondeado hacia arriba, $x = 13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal sines require $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for some integer $k.$

The family $x^2 = x + 360k$ first exceeds $1$ at $k = 1,$ giving $x \approx 19.5.$ The family $x^2 = 180 - x + 360k$ with $k = 0$ gives $x^2 + x - 180 = 0,$ so $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ which is smaller.

Rounded up, $x = 13.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f_1(n)$ el doble del número de divisores enteros positivos de $n,$ y para $j \ge 2,$ sea $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ ¿Para cuántos valores de $n \le 50$ se cumple $f_{50}(n) = 12$ ?

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:conteo de factores recursión

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ así que $12$ es un punto fijo; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ es otro

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ so $12$ is a fixed point; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ is another

Pista grande:

Después de suficientes pasos, cada $n$ cae en $8$ o $12;$ cuenta aquellos cuya órbita llega a $12$

After enough steps every $n$ lands on $8$ or $12;$ count those whose orbit reaches $12$

Solución:

Tanto $8$ como $12$ son puntos fijos. Para $n\le50,$ el primer valor $f_1(n)=2d(n)$ es a lo sumo $20.$ Al revisar los valores pares hasta $20$ , una órbita llega a $12$ exactamente cuando su primer valor es $12,18,$ o $20.$ Por tanto, necesitamos $d(n)=6,9,$ o $10.$

Los números no mayores que $50$ con $6$ divisores son $12,18,20,28,32,44,45,50;$ el único con $9$ divisores es $36,$ y el único con $10$ divisores es $48.$ Estos $10$ valores llegan todos al punto fijo $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Both $8$ and $12$ are fixed. For $n\le50,$ the first value $f_1(n)=2d(n)$ is at most $20.$ Checking the even values through $20$ shows that an orbit reaches $12$ exactly when its first value is $12,18,$ or $20.$ Thus we need $d(n)=6,9,$ or $10.$

The numbers at most $50$ with $6$ divisors are $12,18,20,28,32,44,45,50;$ the only one with $9$ divisors is $36,$ and the only one with $10$ divisors is $48.$ These $10$ values all reach the fixed point $12.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ y $AB = CD.$ Los puntos $X$ y $Y$ están en la diagonal $\overline{AC}$ con $X$ entre $A$ y $Y,$ como se muestra en la figura. Supón que $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ y $YC = 2.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ and $AB = CD.$ Points $X$ and $Y$ lie on diagonal $\overline{AC}$ with $X$ between $A$ and $Y,$ as shown in the figure. Suppose $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ and $YC = 2.$ What is the area of $ABCD?$

$15$

$5\sqrt{11}$

$3\sqrt{35}$

$18$

$7\sqrt{7}$

Conceptos:geometría analítica trapecio fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Coloca $A, X, Y, C$ en una recta horizontal con $AX = 3,$ $XY = 1,$ $YC = 2.$ Entonces $D$ está verticalmente debajo de $X$ y $B$ verticalmente arriba de $Y$

Place $A, X, Y, C$ on a horizontal line with $AX = 3,$ $XY = 1,$ $YC = 2.$ Then $D$ is vertically below $X$ and $B$ vertically above $Y$

Pista grande:

Usa $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ y $AB = CD$ para relacionar las alturas de $B$ y $D,$ luego aplica la fórmula del cordón de zapato

Use $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ and $AB = CD$ to relate the heights of $B$ and $D,$ then apply the shoelace formula

Solución:

Pon $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ Los ángulos rectos dan $D = (3, t)$ y $B = (4, s)$ en lados opuestos de $AC.$

El paralelismo $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ obliga a $t = -\tfrac{3}{2}s,$ y $AB = CD$ da $16 + s^2 = 9 + t^2,$ así que $t^2 - s^2 = 7.$ Sustituyendo se obtiene $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

La fórmula del cordón de zapato da área $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ The right angles give $D = (3, t)$ and $B = (4, s)$ on opposite sides of $AC.$

Parallelism $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ forces $t = -\tfrac{3}{2}s,$ and $AB = CD$ gives $16 + s^2 = 9 + t^2,$ so $t^2 - s^2 = 7.$ Substituting yields $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

The shoelace formula gives area $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Azar y Carl juegan una partida de tres en raya. Azar coloca una $X$ en una de las casillas de un arreglo de casillas de $3$ por $3$ , luego Carl coloca una $O$ en una de las casillas restantes. Después de eso, Azar coloca una $X$ en una de las casillas restantes, y así sucesivamente hasta que las $9$ casillas estén llenas o uno de los jugadores tenga $3$ de sus símbolos en una línea (horizontal, vertical o diagonal), lo que ocurra primero, en cuyo caso ese jugador gana la partida. Supón que los jugadores hacen sus jugadas al azar, en lugar de intentar seguir una estrategia racional, y que Carl gana la partida cuando coloca su tercera $O.$ ¿De cuántas maneras puede verse el tablero después de que la partida termina?

Azar and Carl play a game of tic-tac-toe. Azar places an $X$ in one of the boxes in a $3$ -by- $3$ array of boxes, then Carl places an $O$ in one of the remaining boxes. After that, Azar places an $X$ in one of the remaining boxes, and so on until all $9$ boxes are filled or one of the players has $3$ of their symbols in a row — horizontal, vertical, or diagonal — whichever comes first, in which case that player wins the game. Suppose the players make their moves at random, rather than trying to follow a rational strategy, and that Carl wins the game when he places his third $O.$ How many ways can the board look after the game is over?

$36$

$112$

$120$

$148$

$160$

Conceptos:análisis por casos combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

El tablero final tiene tres $O$ formando una línea y tres $X$ que no deben formar ellas mismas una línea

The final board has three $O$ s forming a line and three $X$ s that must not themselves form a line

Pista grande:

Divide en casos según si la línea de $O$ es una fila/columna o una diagonal, ya que eso cambia cuántas colocaciones de $X$ hacen accidentalmente una fila

Split into cases by whether $O$ ’s line is a row/column or a diagonal, since that changes how many $X$ placements accidentally make a row

Solución:

Carl gana con su tercera $O,$ así que el tablero tiene tres $O$ formando una de las $8$ líneas y tres $X$ en las otras seis casillas. Las $X$ no deben formar una línea (de lo contrario, Azar habría ganado primero).

Si la línea de $O$ es una fila o columna ( $6$ opciones), las seis casillas restantes contienen dos líneas completas, así que las colocaciones válidas de $X$ suman $\binom{6}{3} - 2 = 18.$ Si la línea de $O$ es una diagonal ( $2$ opciones), las seis casillas restantes no contienen ninguna línea completa, dando $\binom{6}{3} = 20.$

El total es $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carl wins on his third $O,$ so the board has three $O$ s forming one of the $8$ lines and three $X$ s in the other six cells. The $X$ s must not form a line (else Azar would have won first).

If the $O$ line is a row or column ( $6$ choices), the remaining six cells contain two full lines, so valid $X$ placements number $\binom{6}{3} - 2 = 18.$ If the $O$ line is a diagonal ( $2$ choices), the remaining six cells contain no full line, giving $\binom{6}{3} = 20.$

The total is $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Un polinomio cuadrático con coeficientes reales y coeficiente principal $1$ se llama irrespetuoso si la ecuación $p(p(x)) = 0$ se satisface por exactamente tres números reales. Entre todos los polinomios cuadráticos irrespetuosos, hay un único polinomio $\tilde{p}(x)$ para el cual la suma de las raíces es máxima. ¿Cuánto vale $\tilde{p}(1)$ ?

A quadratic polynomial with real coefficients and leading coefficient $1$ is called disrespectful if the equation $p(p(x)) = 0$ is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial $\tilde{p}(x)$ for which the sum of the roots is maximized. What is $\tilde{p}(1)?$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$1$

$\dfrac{9}{8}$

Conceptos:polinomio cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Si $p$ tiene raíces $r, s,$ entonces $p(p(x)) = 0$ significa $p(x) = r$ o $p(x) = s;$ tener exactamente tres raíces requiere que una de estas tenga una raíz doble

If $p$ has roots $r, s,$ then $p(p(x)) = 0$ means $p(x) = r$ or $p(x) = s;$ exactly three roots requires one of these to have a double root

Pista grande:

Con $(r - s)^2 + 4s = 0$ y tomando $u = r - s,$ maximiza $r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u$ .

With $(r - s)^2 + 4s = 0$ and letting $u = r - s,$ maximize $r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u$

Solución:

Sea $p$ con raíces $r$ y $s.$ Entonces $p(p(x)) = 0$ se divide en $p(x) = r$ y $p(x) = s,$ con discriminantes $(r - s)^2 + 4r$ y $(r - s)^2 + 4s.$ Tener exactamente tres raíces reales significa que un discriminante es $0$ y el otro es positivo.

Tomemos $(r - s)^2 + 4s = 0$ y sea $u = r - s.$ Entonces $s = -\tfrac{u^2}{4}$ y el otro discriminante es $4u,$ así que $u>0.$ Además, $r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u,$ que alcanza su máximo en $u=1,$ dando $r=\tfrac34$ y $s=-\tfrac14.$

Por tanto, $\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right),$ y $\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $p$ have roots $r$ and $s.$ Then $p(p(x)) = 0$ splits into $p(x) = r$ and $p(x) = s,$ with discriminants $(r - s)^2 + 4r$ and $(r - s)^2 + 4s.$ Exactly three real roots means one discriminant is $0$ and the other positive.

Take $(r - s)^2 + 4s = 0$ and set $u = r - s.$ Then $s = -\tfrac{u^2}{4}$ and the other discriminant is $4u,$ so $u>0.$ Also $r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u,$ maximized at $u=1,$ giving $r=\tfrac34$ and $s=-\tfrac14.$

So $\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right),$ and $\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is A.

24.

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ y $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ En algún orden, las longitudes de los cuatro lados forman una progresión aritmética, y el lado $AB$ es un lado de longitud máxima. La longitud de otro lado es $a.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ and $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side $AB$ is a side of maximum length. The length of another side is $a.$ What is the sum of all possible values of $a?$

$24$

$42$

$60$

$66$

$84$

Conceptos:trapecio sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Como $AB = 18$ es el máximo, los cuatro lados son $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;$ coloca $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ y $D$ en el ángulo $60^\circ$

With $AB = 18$ the maximum, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;$ place $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D$ at angle $60^\circ$

Pista grande:

Para cada asignación de las tres longitudes menores a $BC, CD, DA,$ impón que $\overline{CD}$ sea horizontal y despeja $d;$ incluye también el rombo degenerado $d = 0$

For each assignment of the three smaller lengths to $BC, CD, DA,$ impose that $\overline{CD}$ is horizontal and solve for $d;$ also include common difference $d = 0$

Solución:

Como $AB = 18$ es el mayor, los cuatro lados son $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Tomemos $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ y $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ con $m=DA,$ y sean $n=CD$ y $\ell=BC.$ Entonces $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ así que $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Escribamos $u_j=18-jd$ para $j=1,2,3.$ Al sustituir las permutaciones $123,132,213,231,312,321$ de $(u_1,u_2,u_3)$ por $(m,n,\ell)$ , se obtienen los candidatos no nulos $d=18,2,9,5,6,6,$ respectivamente. La positividad de $u_3$ exige $d<6,$ dejando solo $d=2$ y $d=5.$ El caso $d=0$ también da un rombo válido.

Así, los conjuntos de lados son $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ y $\{18,18,18,18\}.$

Los posibles valores de un lado distinto de $AB$ son $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ cuya suma es $84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AB = 18$ is the largest, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Placing $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ with $m=DA,$ let $n=CD$ and $\ell=BC.$ Then $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ so $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Write $u_j=18-jd$ for $j=1,2,3.$ Substituting the permutations $123,132,213,231,312,321$ of $(u_1,u_2,u_3)$ for $(m,n,\ell)$ gives the nonzero candidates $d=18,2,9,5,6,6,$ respectively. Positivity of $u_3$ requires $d<6,$ leaving only $d=2$ and $d=5.$ The case $d=0$ also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ and $\{18,18,18,18\}.$

The possible values of a non- $AB$ side length are $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ whose sum is $84.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $m \ge 5$ un entero impar, y sea $D(m)$ el número de cuádruplas $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ de enteros distintos con $1 \le a_i \le m$ para todo $i$ tal que $m$ divide a $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ Existe un polinomio $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ tal que $D(m) = q(m)$ para todos los enteros impares $m \ge 5.$ ¿Cuánto vale $c_1$ ?

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

Conceptos:aritmética modular raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Primero cuenta todas las cuádruplas ordenadas de residuos cuya suma sea $0\pmod m,$ y luego usa inclusión-exclusión sobre las coordenadas iguales

First count all ordered residue quadruples summing to $0\pmod m,$ then use inclusion-exclusion on equal coordinates

Pista grande:

Agrupa los patrones de coincidencia en un par, dos pares, una terna o los cuatro iguales; si $m$ es impar, multiplicar por $2$ o por $4$ es invertible

Group collision patterns as one pair, two pairs, a triple, or all four equal; odd $m$ makes multiplication by $2$ and $4$ invertible

Solución:

Consideremos $1,2,\ldots,m$ como el conjunto completo de residuos módulo $m.$ Sin la condición de que sean distintos, las tres primeras entradas son arbitrarias y la cuarta queda determinada, lo que da $m^3$ cuádruplas ordenadas.

La inclusión-exclusión sobre las particiones con coordenadas iguales da los términos restantes. Hay $6$ maneras de elegir un par igual, y cada una deja $m^2$ soluciones, lo que aporta $-6m^2.$ Las $3$ particiones en dos pares aportan $+3m.$ Las $4$ particiones en una terna y un elemento suelto tienen coeficiente de inclusión-exclusión $2$ y aportan $+8m.$ Por último, la partición con los cuatro iguales tiene coeficiente $-6$ y una sola solución. (Aquí, al ser $m$ impar, $2$ y $4$ son invertibles módulo $m.$ ) Por lo tanto $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Así, $c_1=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.