Question

En un plano dado, los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. ¿Cuántos puntos $C$ hay en el plano tales que el perímetro de $\triangle ABC$ sea $50$ unidades y el área de $\triangle ABC$ sea $100$ unidades cuadradas?

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

infinitos

infinitely many

Solución:

La condición del perímetro da $CA+CB=50-10=40,$ así que $C$ está en una elipse con focos $A,B$ y eje mayor $2a=40.$ Por lo tanto $a=20$ y $c=5,$ de modo que el semieje menor es $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.$

Para un área $100$ con base $AB=10,$ la altura desde $C$ debe ser $\dfrac{2\cdot100}{10}=20.$ Pero la mayor altura posible sobre la elipse es $b\approx19.36\lt20,$ así que no existe tal $C$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The perimeter condition gives $CA+CB=50-10=40,$ so $C$ lies on an ellipse with foci $A,B$ and major axis $2a=40.$ Thus $a=20$ and $c=5,$ so the semi-minor axis is $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.$

For area $100$ with base $AB=10,$ the height from $C$ must be $\dfrac{2\cdot100}{10}=20.$ But the greatest possible height on the ellipse is $b\approx19.36\lt20,$ so no such $C$ exists.

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años