Soluciones del 2019 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Alicia tenía dos recipientes. El primero estaba lleno de agua hasta $\dfrac{5}{6}$ de su capacidad y el segundo estaba vacío. Vertió toda el agua del primer recipiente en el segundo, momento en el cual el segundo recipiente quedó lleno de agua hasta $\dfrac{3}{4}$ de su capacidad. ¿Cuál es la razón entre el volumen del primer recipiente y el volumen del segundo recipiente?

Alicia had two containers. The first was $\dfrac{5}{6}$ full of water and the second was empty. She poured all the water from the first container into the second container, at which point the second container was $\dfrac{3}{4}$ full of water. What is the ratio of the volume of the first container to the volume of the second container?

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{9}{10}$

$\dfrac{11}{12}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 880

Solución:

El volumen de agua es el mismo antes y después, así que $\dfrac{5}{6}V_1=\dfrac{3}{4}V_2.$

Entonces $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{3/4}{5/6}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{6}{5}=\dfrac{9}{10}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The volume of water is the same before and after, so $\dfrac{5}{6}V_1=\dfrac{3}{4}V_2.$

Then $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{3/4}{5/6}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{6}{5}=\dfrac{9}{10}.$

Thus, D is the correct answer.

2.

Considera la afirmación: "Si $n$ no es primo, entonces $n-2$ es primo." ¿Cuál de los siguientes valores de $n$ es un contraejemplo de esta afirmación?

Consider the statement, "If $n$ is not prime, then $n-2$ is prime." Which of the following values of $n$ is a counterexample to this statement?

$11$

$15$

$19$

$21$

$27$

Conceptos:contraejemplo primo

Nivel de dificultad: 990

Solución:

Un contraejemplo necesita que $n$ no sea primo (para que la hipótesis se cumpla) y que $n-2$ no sea primo (para que la conclusión falle).

Entre las opciones, $27$ no es primo y $27-2=25$ tampoco es primo. Los primos $11$ y $19$ no cumplen la hipótesis, y $15-2=13,$ $21-2=19$ son primos.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

A counterexample needs $n$ not prime (so the hypothesis holds) and $n-2$ not prime (so the conclusion fails).

Among the choices, $27$ is not prime and $27-2=25$ is not prime. The primes $11$ and $19$ fail the hypothesis, and $15-2=13,$ $21-2=19$ are prime.

Thus, E is the correct answer.

3.

¿Cuál de las siguientes transformaciones rígidas (isometrías) lleva el segmento $\overline{AB}$ sobre el segmento $\overline{A'B'}$ de modo que la imagen de $A(-2,1)$ sea $A'(2,-1)$ y la imagen de $B(-1,4)$ sea $B'(1,-4)$ ?

Which one of the following rigid transformations (isometries) maps the line segment $\overline{AB}$ onto the line segment $\overline{A'B'}$ so that the image of $A(-2,1)$ is $A'(2,-1)$ and the image of $B(-1,4)$ is $B'(1,-4)?$

reflexión respecto al eje $y$

reflection in the $y$ -axis

rotación antihoraria alrededor del origen de $90^\circ$

counterclockwise rotation around the origin by $90^\circ$

traslación de $3$ unidades a la derecha y $5$ unidades hacia abajo

translation by $3$ units to the right and $5$ units down

reflexión respecto al eje $x$

reflection in the $x$ -axis

rotación horaria alrededor del origen de $180^\circ$

clockwise rotation about the origin by $180^\circ$

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

Cada punto se transforma según $(x,y)\to(-x,-y):$ en efecto $(-2,1)\to(2,-1)$ y $(-1,4)\to(1,-4).$

La transformación $(x,y)\to(-x,-y)$ es una rotación de $180^\circ$ alrededor del origen.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Each point maps by $(x,y)\to(-x,-y):$ indeed $(-2,1)\to(2,-1)$ and $(-1,4)\to(1,-4).$

The map $(x,y)\to(-x,-y)$ is a $180^\circ$ rotation about the origin.

Thus, E is the correct answer.

4.

Un entero positivo $n$ satisface la ecuación $(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.$ ¿Cuánto vale la suma de los dígitos de $n$ ?

A positive integer $n$ satisfies the equation $(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.$ What is the sum of the digits of $n?$

$2$

$5$

$10$

$12$

$15$

Conceptos:factorial cuadrática

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Factoriza el lado izquierdo: $\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3). \end{gathered}$

Dividir ambos lados entre $n!$ y usar $(n+1)!=(n+1)\,n!$ da $(n+1)(n+3)=440.$

Así $n^2+4n-437=0,$ que se factoriza como $(n-19)(n+23)=0,$ dando $n=19.$ Su suma de dígitos es $1+9=10.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Factor the left side: $\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3). \end{gathered}$

Dividing both sides by $n!$ and using $(n+1)!=(n+1)\,n!$ gives $(n+1)(n+3)=440.$

So $n^2+4n-437=0,$ which factors as $(n-19)(n+23)=0,$ giving $n=19.$ Its digit sum is $1+9=10.$

Thus, C is the correct answer.

5.

Cada caramelo de una tienda cuesta un número entero de centavos. Casper tiene exactamente el dinero suficiente para comprar $12$ caramelos rojos, $14$ caramelos verdes, $15$ caramelos azules, o $n$ caramelos morados. Un caramelo morado cuesta $20$ centavos. ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Each piece of candy in a store costs a whole number of cents. Casper has exactly enough money to buy either $12$ pieces of red candy, $14$ pieces of green candy, $15$ pieces of blue candy, or $n$ pieces of purple candy. A piece of purple candy costs $20$ cents. What is the smallest possible value of $n?$

$18$

$21$

$24$

$25$

$28$

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Sea $M$ el dinero de Casper en centavos. Como puede comprar exactamente $12,$ $14,$ o $15$ caramelos de precio entero en centavos, $M$ es un múltiplo de $\operatorname{lcm}(12,14,15)=420.$

Un caramelo morado cuesta $20$ centavos, así que $n=\dfrac{M}{20}.$ El menor $M$ es $420,$ dando $n=\dfrac{420}{20}=21.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $M$ be Casper's money in cents. Since he can exactly buy $12,$ $14,$ or $15$ whole-cent pieces, $M$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(12,14,15)=420.$

Purple candy costs $20$ cents, so $n=\dfrac{M}{20}.$ The smallest $M$ is $420,$ giving $n=\dfrac{420}{20}=21.$

Thus, B is the correct answer.

6.

En un plano dado, los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. ¿Cuántos puntos $C$ hay en el plano tales que el perímetro de $\triangle ABC$ sea $50$ unidades y el área de $\triangle ABC$ sea $100$ unidades cuadradas?

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

infinitos

infinitely many

Conceptos:elipse acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

La condición del perímetro da $CA+CB=50-10=40,$ así que $C$ está en una elipse con focos $A,B$ y eje mayor $2a=40.$ Por lo tanto $a=20$ y $c=5,$ de modo que el semieje menor es $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.$

Para un área $100$ con base $AB=10,$ la altura desde $C$ debe ser $\dfrac{2\cdot100}{10}=20.$ Pero la mayor altura posible sobre la elipse es $b\approx19.36\lt20,$ así que no existe tal $C$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The perimeter condition gives $CA+CB=50-10=40,$ so $C$ lies on an ellipse with foci $A,B$ and major axis $2a=40.$ Thus $a=20$ and $c=5,$ so the semi-minor axis is $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.$

For area $100$ with base $AB=10,$ the height from $C$ must be $\dfrac{2\cdot100}{10}=20.$ But the greatest possible height on the ellipse is $b\approx19.36\lt20,$ so no such $C$ exists.

Thus, A is the correct answer.

7.

¿Cuánto vale la suma de todos los números reales $x$ para los cuales la mediana de los números $4,6,8,17,$ y $x$ es igual a la media de esos cinco números?

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,6,8,17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$-5$

$0$

$5$

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

Conceptos:media mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

La media es $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.$

Si $x\le6,$ la mediana es $6,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=6$ da $x=-5,$ lo cual es consistente.

Si $6\lt x\lt8,$ la mediana es $x,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=x$ da $x=8.75,$ fuera de rango. Si $x\ge8,$ la mediana es $8,$ de modo que $\dfrac{35+x}{5}=8$ da $x=5,$ fuera de rango.

La única solución es $x=-5,$ así que la suma es $-5.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The mean is $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.$

If $x\le6,$ the median is $6,$ so $\dfrac{35+x}{5}=6$ gives $x=-5,$ which is consistent.

If $6\lt x\lt8,$ the median is $x,$ so $\dfrac{35+x}{5}=x$ gives $x=8.75,$ not in range. If $x\ge8,$ the median is $8,$ so $\dfrac{35+x}{5}=8$ gives $x=5,$ not in range.

The only solution is $x=-5,$ so the sum is $-5.$

Thus, A is the correct answer.

8.

Sea $f(x)=x^2(1-x)^2.$ ¿Cuál es el valor de la suma

$\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}$

Let $f(x)=x^2(1-x)^2.$ What is the value of the sum

$\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}$

$0$

$\dfrac{1}{2019^4}$

$\dfrac{2018^2}{2019^4}$

$\dfrac{2020^2}{2019^4}$

$1$

Conceptos:simetría (álgebra)emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Como $f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x),$ tenemos $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right).$

En la suma, el término con índice $k$ tiene signo $(-1)^{k+1},$ mientras que el término con índice $2019-k$ es igual en valor pero tiene signo $(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k},$ el opuesto.

Cada término se cancela con su pareja, así que el total es $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since $f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x),$ we have $f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right).$

In the sum, the term with index $k$ has sign $(-1)^{k+1},$ while the term with index $2019-k$ equals it in value but has sign $(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k},$ the opposite.

Every term cancels with its partner, so the total is $0.$

Thus, A is the correct answer.

9.

¿Para cuántos valores enteros de $x$ se puede formar un triángulo de área positiva con lados de longitud $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ y $3$ ?

For how many integral values of $x$ can a triangle of positive area be formed having side lengths $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ and $3?$

$57$

$59$

$61$

$62$

$63$

Conceptos:logaritmo desigualdad triangular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Sea $t=\log_2 x.$ Entonces $\log_4 x=\dfrac{t}{2},$ y los lados son $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.$

Las desigualdades triangulares dan $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ (así que $t\gt2$ ) y $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ (así que $t\lt6$ ); la tercera desigualdad es automática.

Por lo tanto $2\lt\log_2 x\lt6,$ es decir $4\lt x\lt64.$ Los enteros $5,6,\ldots,63$ son en total $59.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $t=\log_2 x.$ Then $\log_4 x=\dfrac{t}{2},$ and the sides are $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.$

The triangle inequalities give $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ (so $t\gt2$ ) and $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ (so $t\lt6$ ); the third inequality is automatic.

Thus $2\lt\log_2 x\lt6,$ i.e. $4\lt x\lt64.$ The integers $5,6,\ldots,63$ number $59.$

Thus, B is the correct answer.

10.

La figura de abajo es un mapa que muestra $12$ ciudades y $17$ caminos que conectan ciertos pares de ciudades. Paula desea recorrer exactamente $13$ de esos caminos, comenzando en la ciudad $A$ y terminando en la ciudad $L,$ sin recorrer ninguna parte de un camino más de una vez. (Paula puede visitar una ciudad más de una vez.) ¿Cuántas rutas diferentes puede tomar Paula?

The figure below is a map showing $12$ cities and $17$ roads connecting certain pairs of cities. Paula wishes to travel along exactly $13$ of those roads, starting at city $A$ and ending at city $L,$ without traveling along any portion of a road more than once. (Paula is allowed to visit a city more than once.) How many different routes can Paula take?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:teoría de grafos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1640

Solución:

Una ruta usa $13$ caminos como un recorrido abierto de $A$ a $L,$ así que en los caminos usados exactamente $A$ y $L$ tienen grado impar y toda otra ciudad tiene grado par.

En el mapa completo las ciudades de las esquinas $A$ y $L$ ya tienen grado par $2,$ y seis ciudades de los bordes tienen grado impar $3.$ Eliminar $4$ caminos debe cambiar la paridad de $A,$ $L,$ y de esas seis ciudades, y de ninguna otra. Esto obliga a que los cuatro caminos eliminados emparejen esas ocho ciudades de la única manera posible, así que el conjunto de $13$ caminos usados queda determinado de forma única.

Contar los recorridos eulerianos de $A$ a $L$ en ese grafo da exactamente $4$ rutas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

A route uses $13$ roads as an open trail from $A$ to $L,$ so on the used roads exactly $A$ and $L$ have odd degree and every other city has even degree.

In the full map the corner cities $A$ and $L$ already have even degree $2,$ and six edge-cities have odd degree $3.$ Removing $4$ roads must flip the parity of $A,$ $L,$ and those six cities, and of no others. This forces the four removed roads to pair up those eight cities in the only possible way, so the set of $13$ used roads is uniquely determined.

Counting the Eulerian trails from $A$ to $L$ on that graph gives exactly $4$ routes.

Thus, E is the correct answer.

11.

Dado un cubo, ¿cuántos pares no ordenados de aristas determinan un plano?

How many unordered pairs of edges of a given cube determine a plane?

$12$

$28$

$36$

$42$

$66$

Conceptos:geometría del cubo Geometría 3D conteo de pares

Nivel de dificultad: 1640

Solución:

Dos aristas determinan un plano exactamente cuando son coplanares, es decir, paralelas o secantes.

Las $12$ aristas se dividen en $3$ direcciones de $4$ aristas paralelas, dando $3\binom{4}{2}=18$ pares paralelos. Las aristas que comparten un vértice dan $8\binom{3}{2}=24$ pares secantes.

El total es $18+24=42.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Two edges determine a plane exactly when they are coplanar, that is, parallel or intersecting.

The $12$ edges split into $3$ directions of $4$ parallel edges, giving $3\binom{4}{2}=18$ parallel pairs. Edges sharing a vertex give $8\binom{3}{2}=24$ intersecting pairs.

The total is $18+24=42.$

Thus, D is the correct answer.

12.

El triángulo rectángulo $ACD$ con ángulo recto en $C$ se construye hacia afuera sobre la hipotenusa $\overline{AC}$ del triángulo rectángulo isósceles $ABC$ de cateto $1,$ como se muestra, de modo que los dos triángulos tienen perímetros iguales. ¿Cuánto vale $\sin(2\angle BAD)$ ?

Right triangle $ACD$ with right angle at $C$ is constructed outwards on the hypotenuse $\overline{AC}$ of isosceles right triangle $ABC$ with leg length $1,$ as shown, so that the two triangles have equal perimeters. What is $\sin(2\angle BAD)?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Conceptos:triángulo rectángulo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1700

Solución:

El triángulo $ABC$ tiene perímetro $1+1+\sqrt2=2+\sqrt2$ y $AC=\sqrt2.$ En $\triangle ACD$ sea $CD=d,$ así que $AD=\sqrt{2+d^2}$ y perímetros iguales dan $\sqrt2+d+\sqrt{2+d^2}=2+\sqrt2.$

Entonces $\sqrt{2+d^2}=2-d,$ así que $2+d^2=4-4d+d^2,$ dando $d=\dfrac12$ y $AD=\dfrac32.$

Como $\angle BAC=45^\circ,$ escribiendo $\theta=\angle CAD$ se obtiene $2\angle BAD=90^\circ+2\theta,$ así que $\sin(2\angle BAD)=\cos 2\theta.$ Con $\tan\theta=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2\sqrt2},$ obtenemos $\begin{gathered} \cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \\ =\dfrac{1-\tfrac18}{1+\tfrac18}=\dfrac{7}{9}. \end{gathered}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Triangle $ABC$ has perimeter $1+1+\sqrt2=2+\sqrt2$ and $AC=\sqrt2.$ In $\triangle ACD$ let $CD=d,$ so $AD=\sqrt{2+d^2}$ and equal perimeters give $\sqrt2+d+\sqrt{2+d^2}=2+\sqrt2.$

Then $\sqrt{2+d^2}=2-d,$ so $2+d^2=4-4d+d^2,$ giving $d=\dfrac12$ and $AD=\dfrac32.$

Since $\angle BAC=45^\circ,$ writing $\theta=\angle CAD$ gives $2\angle BAD=90^\circ+2\theta,$ so $\sin(2\angle BAD)=\cos 2\theta.$ With $\tan\theta=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2\sqrt2},$ we get $\begin{gathered} \cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \\ =\dfrac{1-\tfrac18}{1+\tfrac18}=\dfrac{7}{9}. \end{gathered}$

Thus, D is the correct answer.

13.

Una bola roja y una bola verde se lanzan de manera aleatoria e independiente en cajas numeradas con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en la caja $k$ es $2^{-k}$ para $k=1,2,3,\ldots$ ¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja caiga en una caja de número mayor que la bola verde?

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $k$ is $2^{-k}$ for $k=1,2,3,\ldots$ What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{3}{7}$

Conceptos:probabilidad básica simetría probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

La probabilidad de que las bolas caigan en la misma caja es $\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13. \end{gathered}$

Por simetría, que la bola roja sea mayor y que la bola verde sea mayor son igual de probables, así que cada una tiene probabilidad $\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The probability the balls land in the same bin is $\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13. \end{gathered}$

By symmetry, the red ball being higher and the green ball being higher are equally likely, so each has probability $\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.$

Thus, C is the correct answer.

14.

Sea $S$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $100{,}000.$ ¿Cuántos números son el producto de dos elementos distintos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100{,}000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

Conceptos:factor factorización en primos conteo complementario

Nivel de dificultad: 1830

Solución:

Como $100{,}000=2^5\cdot5^5,$ cada divisor es $2^a5^b$ con $0\le a,b\le5.$ Un producto de dos divisores es $2^x5^y$ con $0\le x,y\le10,$ y cada par $(x,y)$ es alcanzable, dando $11\cdot11=121$ valores.

Necesitamos dos divisores distintos. Un valor $2^x5^y$ está forzado a ser un divisor por sí mismo solo cuando tanto $x$ como $y$ tienen una única descomposición, lo cual ocurre exactamente cuando $x,y\in\{0,10\}.$ Esos $4$ valores de las esquinas ( $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ) no pueden usar dos divisores distintos.

El conteo es $121-4=117.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $100{,}000=2^5\cdot5^5,$ every divisor is $2^a5^b$ with $0\le a,b\le5.$ A product of two divisors is $2^x5^y$ with $0\le x,y\le10,$ and every such pair $(x,y)$ is attainable, giving $11\cdot11=121$ values.

We need two distinct divisors. A value $2^x5^y$ is forced to be a divisor times itself only when both $x$ and $y$ have a unique split, which happens exactly when $x,y\in\{0,10\}.$ Those $4$ corner values ( $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ) cannot use two distinct divisors.

The count is $121-4=117.$

Thus, C is the correct answer.

15.

Como se muestra en la figura, el segmento $\overline{AD}$ es trisecado por los puntos $B$ y $C$ de modo que $AB=BC=CD=2.$ Tres semicírculos de radio $1,$ $AEB,$ $BFC,$ y $CGD,$ tienen sus diámetros sobre $\overline{AD},$ y son tangentes a la recta $EG$ en $E,$ $F,$ y $G,$ respectivamente. Un círculo de radio $2$ tiene su centro en $F.$ El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, se puede expresar en la forma

$\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$

donde $a,b,c,$ y $d$ son enteros positivos y $a$ y $b$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $AEB,$ $BFC,$ and $CGD,$ have their diameters on $\overline{AD},$ and are tangent to line $EG$ at $E,$ $F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center on $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form

$\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$

where $a,b,c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas geometría analítica

Nivel de dificultad: 1830

Solución:

Pon $A=(0,0),$ $\ B=(2,0),$ $\ C=(4,0),$ $\ D=(6,0),$ así que los semicírculos están centrados en $(1,0),(3,0),(5,0)$ y sus cúspides son $E=(1,1),$ $\ F=(3,1),$ $\ G=(5,1).$ El círculo tiene centro $F=(3,1)$ y radio $2,$ así que pasa por $E$ y $G,$ y tiene área $4\pi.$

El semicírculo del medio $BFC$ queda completamente dentro del círculo, quitando un área $\dfrac{\pi}{2}.$ Por simetría los semicírculos exteriores aportan cada uno el mismo solapamiento $R=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}$ dentro del círculo.

El área sombreada es $4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.$ Por lo tanto $a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,$ así que $a+b+c+d=17.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Put $A=(0,0),$ $\ B=(2,0),$ $\ C=(4,0),$ $\ D=(6,0),$ so the semicircles are centered at $(1,0),(3,0),(5,0)$ and their tops are $E=(1,1),$ $\ F=(3,1),$ $\ G=(5,1).$ The circle has center $F=(3,1)$ and radius $2,$ so it passes through $E$ and $G,$ and has area $4\pi.$

The middle semicircle $BFC$ lies entirely inside the circle, removing area $\dfrac{\pi}{2}.$ By symmetry the outer semicircles each contribute the same overlap $R=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}$ inside the circle.

The shaded area is $4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.$ Hence $a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,$ so $a+b+c+d=17.$

Thus, E is the correct answer.

16.

Hay hojas de nenúfar en fila numeradas de $0$ a $11,$ en ese orden. Hay depredadores en las hojas $3$ y $6,$ y un bocado de comida en la hoja $10.$ La rana Fiona empieza en la hoja $0,$ y desde cualquier hoja dada tiene una probabilidad $\dfrac12$ de saltar a la siguiente hoja, y la misma probabilidad de saltar $2$ hojas. ¿Cuál es la probabilidad de que Fiona llegue a la hoja $10$ sin caer en la hoja $3$ ni en la hoja $6$ ?

There are lily pads in a row numbered $0$ to $11,$ in that order. There are predators on lily pads $3$ and $6,$ and a morsel of food on lily pad $10.$ Fiona the frog starts on pad $0,$ and from any given lily pad, has a $\dfrac12$ chance to hop to the next pad, and an equal chance to jump $2$ pads. What is the probability that Fiona reaches pad $10$ without landing on either pad $3$ or pad $6?$

$\dfrac{15}{256}$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{15}{128}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:probabilidad recursiva

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Sea $p(n)$ la probabilidad de caer en la hoja $n$ sin caer antes en la hoja $3$ o $6.$ Cada hoja envía probabilidad $\dfrac12$ a la siguiente hoja y $\dfrac12$ dos hojas más adelante, y las hojas $3$ y $6$ no transmiten nada.

Entonces $p(0)=1,\ p(1)=\dfrac12,\ p(2)=\dfrac34,$ y (saltando $3$ ) $p(4)=\dfrac38,\ p(5)=\dfrac{3}{16},$ luego (saltando $6$ ) $p(7)=\dfrac{3}{32},$ $\ p(8)=\dfrac{3}{64},$ $\ p(9)=\dfrac{9}{128}.$

Finalmente $\begin{gathered} p(10)=\dfrac12 p(8)+\dfrac12 p(9) \\ =\dfrac{3}{128}+\dfrac{9}{256} \\ =\dfrac{15}{256}. \end{gathered}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $p(n)$ be the probability of landing on pad $n$ without first landing on pad $3$ or $6.$ Each pad sends probability $\dfrac12$ to the next pad and $\dfrac12$ two pads ahead, and pads $3$ and $6$ pass nothing on.

Then $p(0)=1,\ p(1)=\dfrac12,\ p(2)=\dfrac34,$ and (skipping $3$ ) $p(4)=\dfrac38,\ p(5)=\dfrac{3}{16},$ then (skipping $6$ ) $p(7)=\dfrac{3}{32},$ $\ p(8)=\dfrac{3}{64},$ $\ p(9)=\dfrac{9}{128}.$

Finally $\begin{gathered} p(10)=\dfrac12 p(8)+\dfrac12 p(9) \\ =\dfrac{3}{128}+\dfrac{9}{256} \\ =\dfrac{15}{256}. \end{gathered}$

Thus, A is the correct answer.

17.

¿Cuántos números complejos no nulos $z$ tienen la propiedad de que $0,$ $z,$ y $z^3,$ al representarse como puntos en el plano complejo, sean los tres vértices distintos de un triángulo equilátero?

How many nonzero complex numbers $z$ have the property that $0,$ $z,$ and $z^3,$ when represented by points in the complex plane, are the three distinct vertices of an equilateral triangle?

$0$

$1$

$2$

$4$

infinitos

infinitely many

Conceptos:número complejo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Los tres puntos forman un triángulo equilátero si y solo si $|z|=|z^3|=|z^3-z|.$ De $|z|=|z^3|=|z|^3$ obtenemos $|z|=1.$

Entonces $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,$ así que necesitamos $|z^2-1|=1.$ Escribiendo $z=e^{i\theta},$ $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,$ así que $|\sin\theta|=\dfrac12.$

Esto da $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,$ cuatro valores de $z,$ todos generando vértices distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three points form an equilateral triangle iff $|z|=|z^3|=|z^3-z|.$ From $|z|=|z^3|=|z|^3$ we get $|z|=1.$

Then $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,$ so we need $|z^2-1|=1.$ Writing $z=e^{i\theta},$ $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,$ so $|\sin\theta|=\dfrac12.$

This gives $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,$ four values of $z,$ all yielding distinct vertices.

Thus, D is the correct answer.

18.

La pirámide de base cuadrada $ABCDE$ tiene base $ABCD,$ que mide $3$ cm de lado, y altura $\overline{AE}$ perpendicular a la base, que mide $6$ cm. El punto $P$ está en $\overline{BE},$ a un tercio del camino de $B$ a $E;$ el punto $Q$ está en $\overline{DE},$ a un tercio del camino de $D$ a $E;$ y el punto $R$ está en $\overline{CE},$ a dos tercios del camino de $C$ a $E.$ ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de $\triangle PQR$ ?

Square pyramid $ABCDE$ has base $ABCD,$ which measures $3$ cm on a side, and altitude $\overline{AE}$ perpendicular to the base, which measures $6$ cm. Point $P$ lies on $\overline{BE},$ one third of the way from $B$ to $E;$ point $Q$ lies on $\overline{DE},$ one third of the way from $D$ to $E;$ and point $R$ lies on $\overline{CE},$ two thirds of the way from $C$ to $E.$ What is the area, in square centimeters, of $\triangle PQR?$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{3\sqrt3}{2}$

$2\sqrt2$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

Conceptos:Geometría 3D vector área del triángulo

Nivel de dificultad: 1620

Solución:

Coloca $A=(0,0,0),$ $\ B=(3,0,0),$ $\ C=(3,3,0),$ $\ D=(0,3,0),$ $\ E=(0,0,6).$ Entonces $\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}$

Así $\vec{PQ}=(-2,2,0)$ y $\vec{PR}=(-1,1,2),$ dando $\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).$

El área es $\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place $A=(0,0,0),$ $\ B=(3,0,0),$ $\ C=(3,3,0),$ $\ D=(0,3,0),$ $\ E=(0,0,6).$ Then $\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}$

So $\vec{PQ}=(-2,2,0)$ and $\vec{PR}=(-1,1,2),$ giving $\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).$

The area is $\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.$

Thus, C is the correct answer.

19.

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $\$1.$ Una campana suena cada $15$ segundos, momento en el cual cada uno de los jugadores que en ese momento tiene dinero elige de manera independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $\$1$ a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado $2019$ veces, cada jugador tenga $\$1$ ? (Por ejemplo, Raashan y Ted podrían decidir cada uno dar $\$1$ a Sylvia, y Sylvia podría decidir dar su dólar a Ted, momento en el cual Raashan tendrá $\$0,$ Sylvia tendrá $\$2,$ y Ted tendrá $\$1,$ y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse el uno al otro para darse su $\$1$ , y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $\$1.$ A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $\$1$ to that player. What is the probability that after the bell has rung $2019$ times, each player will have $\$1?$ (For example, Raashan and Ted may each decide to give $\$1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $\$0,$ Sylvia will have $\$2,$ and Ted will have $\$1,$ and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $\$1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad recursiva simetría invariante

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Desde $(1,1,1),$ cada uno de los tres jugadores da a uno de los otros dos, así que hay $8$ resultados igualmente probables; solo los $2$ patrones de regalo cíclicos regresan a $(1,1,1),$ una probabilidad de $\dfrac14.$

Desde un estado $(2,1,0)$ el jugador sin dinero no da nada, y revisar las $4$ elecciones igualmente probables de los otros dos muestra que exactamente una produce $(1,1,1),$ de nuevo probabilidad $\dfrac14.$

Así que después de cualquier campanada la probabilidad de $(1,1,1)$ es $\dfrac14,$ incluso después de $2019$ campanadas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

From $(1,1,1),$ each of the three players gives to one of two others, so there are $8$ equally likely outcomes; only the $2$ cyclic gift patterns return to $(1,1,1),$ a probability of $\dfrac14.$

From a $(2,1,0)$ state the broke player gives nothing, and checking the $4$ equally likely choices of the other two shows exactly one yields $(1,1,1),$ again probability $\dfrac14.$

So after any ring the probability of $(1,1,1)$ is $\dfrac14,$ including after $2019$ rings.

Thus, B is the correct answer.

20.

Los puntos $A(6,13)$ y $B(12,11)$ están sobre el círculo $\omega$ en el plano. Supón que las rectas tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ se cortan en un punto sobre el eje $x$ . ¿Cuál es el área de $\omega$ ?

Points $A(6,13)$ and $B(12,11)$ lie on circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$ -axis. What is the area of $\omega?$

$\dfrac{83\pi}{8}$

$\dfrac{21\pi}{2}$

$\dfrac{85\pi}{8}$

$\dfrac{43\pi}{4}$

$\dfrac{87\pi}{8}$

Conceptos:círculo recta tangente geometría analítica

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

Sea $P=(x,0)$ la intersección. Longitudes de tangente iguales dan $PA=PB,$ así que $(x-6)^2+13^2$ $=(x-12)^2+11^2,$ lo que da $x=5$ y $P=(5,0).$

El centro $O=(h,k)$ satisface $OA\perp PA$ y $OB\perp PB.$ Con $PA=(1,13)$ y $PB=(7,11),$ estas dan $h+13k=175$ y $7h+11k=205,$ así que $O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).$

Entonces $r^2=OA^2$ $=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2$ $=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},$ así que el área es $\dfrac{85\pi}{8}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $P=(x,0)$ be the intersection. Equal tangent lengths give $PA=PB,$ so $(x-6)^2+13^2$ $=(x-12)^2+11^2,$ yielding $x=5$ and $P=(5,0).$

The center $O=(h,k)$ satisfies $OA\perp PA$ and $OB\perp PB.$ With $PA=(1,13)$ and $PB=(7,11),$ these give $h+13k=175$ and $7h+11k=205,$ so $O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).$

Then $r^2=OA^2$ $=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2$ $=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},$ so the area is $\dfrac{85\pi}{8}.$

Thus, C is the correct answer.

21.

¿Cuántos polinomios cuadráticos con coeficientes reales existen tales que el conjunto de raíces sea igual al conjunto de coeficientes? (Para aclarar: si el polinomio es $ax^2+bx+c,\ a\neq0,$ y las raíces son $r$ y $s,$ entonces el requisito es que $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

How many quadratic polynomials with real coefficients are there such that the set of roots equals the set of coefficients? (For clarification: If the polynomial is $ax^2+bx+c,\ a\neq0,$ and the roots are $r$ and $s,$ then the requirement is that $\{a,b,c\}=\{r,s\}.$ )

$3$

$4$

$5$

$6$

infinitos

infinitely many

Conceptos:Fórmulas de Vieta análisis por casos sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2220

Solución:

El conjunto $\{a,b,c\}$ debe ser igual al conjunto de dos elementos $\{r,s\},$ así que al menos dos coeficientes coinciden, y las raíces son los dos valores distintos de los coeficientes. Por las fórmulas de Vieta $r+s=-\dfrac{b}{a}$ y $rs=\dfrac{c}{a}.$

Analizar los casos de cuáles coeficientes son iguales produce los polinomios $x^2+x-2,$ $-x^2-x,$ $x^2-\dfrac12 x-\dfrac12,$ y $ux^2+\dfrac1u x+u$ donde $u$ es la única raíz real de $u^3+u+1=0.$

En total son $4$ polinomios.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The set $\{a,b,c\}$ must equal the two-element set $\{r,s\},$ so at least two coefficients coincide, and the roots are the two distinct coefficient values. By Vieta's formulas $r+s=-\dfrac{b}{a}$ and $rs=\dfrac{c}{a}.$

Working through the cases of which coefficients are equal yields the polynomials $x^2+x-2,$ $-x^2-x,$ $x^2-\dfrac12 x-\dfrac12,$ and $ux^2+\dfrac1u x+u$ where $u$ is the unique real root of $u^3+u+1=0.$

That is $4$ polynomials in all.

Thus, B is the correct answer.

22.

Define una sucesión recursivamente por $x_0=5$ y

$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$

para todos los enteros no negativos $n.$ Sea $m$ el menor entero positivo tal que

$x_m\le4+\dfrac{1}{2^{20}}.$

¿En cuál de los siguientes intervalos está $m$ ?

Define a sequence recursively by $x_0=5$ and

$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$

for all nonnegative integers $n.$ Let $m$ be the least positive integer such that

$x_m\le4+\dfrac{1}{2^{20}}.$

In which of the following intervals does $m$ lie?

$[9,26]$

$[27,80]$

$[81,242]$

$[243,728]$

$[729,\infty)$

Conceptos:recursión telescópica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Sea $a_n=x_n-4.$ Un cálculo breve da $\begin{gathered} a_{n+1}=x_{n+1}-4 \\ =\dfrac{(x_n+5)(x_n-4)}{x_n+6} \\ =a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6}. \end{gathered}$

Partiendo de $a_0=1,$ los términos permanecen positivos y decrecen. Como $x_n$ decrece de $5$ hacia $4,$ cada razón $\dfrac{x_n+5}{x_n+6}$ está estrictamente entre $\dfrac{9}{10}$ y $\dfrac{10}{11}.$

Por lo tanto $a_m$ queda encajado entre $\left(\dfrac{9}{10}\right)^m$ y $\left(\dfrac{10}{11}\right)^m.$ Resolver $a_m\le2^{-20}$ sitúa a $m$ entre aproximadamente $132$ y $146,$ que está en $[81,242].$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $a_n=x_n-4.$ A short computation gives $\begin{gathered} a_{n+1}=x_{n+1}-4 \\ =\dfrac{(x_n+5)(x_n-4)}{x_n+6} \\ =a_n\cdot\dfrac{x_n+5}{x_n+6}. \end{gathered}$

Starting from $a_0=1,$ the terms stay positive and decrease. Because $x_n$ decreases from $5$ toward $4,$ each ratio $\dfrac{x_n+5}{x_n+6}$ lies strictly between $\dfrac{9}{10}$ and $\dfrac{10}{11}.$

Hence $a_m$ is squeezed between $\left(\dfrac{9}{10}\right)^m$ and $\left(\dfrac{10}{11}\right)^m.$ Solving $a_m\le2^{-20}$ puts $m$ between about $132$ and $146,$ which lies in $[81,242].$

Thus, C is the correct answer.

23.

¿Cuántas sucesiones de $0$ y $1$ de longitud $19$ hay que comiencen con $0,$ terminen con $0,$ no contengan dos $0$ consecutivos y no contengan tres $1$ consecutivos?

How many sequences of $0$ s and $1$ s of length $19$ are there that begin with a $0,$ end with a $0,$ contain no two consecutive $0$ s, and contain no three consecutive $1$ s?

$55$

$60$

$65$

$70$

$75$

Conceptos:particiones y composiciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

No hay dos $0$ adyacentes, así que los $0$ están separados por bloques de $1$ , cada uno de tamaño $1$ o $2$ (nunca $3$ ). Si hay $k$ ceros, hay $k-1$ de esos bloques que suman $19-k$ unos.

El número de bloques de tamaño $2$ es $(19-k)-(k-1)=20-2k,$ que debe cumplir $0\le20-2k\le k-1,$ es decir $7\le k\le10.$

Sumar $\binom{k-1}{20-2k}$ sobre $k=7,8,9,10$ da $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

No two $0$ s are adjacent, so the $0$ s are separated by blocks of $1$ s, each of size $1$ or $2$ (never $3$ ). If there are $k$ zeros, there are $k-1$ such blocks summing to $19-k$ ones.

The number of size- $2$ blocks is $(19-k)-(k-1)=20-2k,$ which must satisfy $0\le20-2k\le k-1,$ i.e. $7\le k\le10.$

Summing $\binom{k-1}{20-2k}$ over $k=7,8,9,10$ gives $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Sea $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3.$ Sea $S$ el conjunto de todos los puntos del plano complejo de la forma $a+b\omega+c\omega^2,$ donde $0\le a\le1,\ 0\le b\le1,$ y $0\le c\le1.$ ¿Cuál es el área de $S$ ?

Let $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3.$ Let $S$ denote all points in the complex plane of the form $a+b\omega+c\omega^2,$ where $0\le a\le1,\ 0\le b\le1,$ and $0\le c\le1.$ What is the area of $S?$

$\dfrac12\sqrt3$

$\dfrac34\sqrt3$

$\dfrac32\sqrt3$

$\dfrac12\pi\sqrt3$

$\pi$

Conceptos:número complejo vector área

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Cuando $a,b,c$ recorren $[0,1],$ el conjunto $S$ es la suma de Minkowski de los tres segmentos unitarios a lo largo de $v_1=1=(1,0),$ $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$ $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$

Este es un zonógono cuya área es la suma de las magnitudes de los productos cruz sobre los pares. Cada par da $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto el área es $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

As $a,b,c$ range over $[0,1],$ the set $S$ is the Minkowski sum of the three unit segments along $v_1=1=(1,0),$ $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$ $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$

This is a zonogon whose area is the sum of the cross-product magnitudes over pairs. Each pair gives $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Therefore the area is $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

25.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BC=2$ y $CD=6.$ Supón que los baricentros de $\triangle ABC,$ $\triangle BCD,$ y $\triangle ACD$ forman los vértices de un triángulo equilátero. ¿Cuál es el máximo valor posible del área de $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $BC=2$ and $CD=6.$ Suppose that the centroids of $\triangle ABC,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle ACD$ form the vertices of an equilateral triangle. What is the maximum possible value of the area of $ABCD?$

$27$

$16\sqrt3$

$12+10\sqrt3$

$9+12\sqrt3$

$30$

Conceptos:baricentro triángulo equilátero ley de los cosenos optimización

Nivel de dificultad: 2480

Solución:

Los baricentros son $\dfrac{A+B+C}{3},$ $\ \dfrac{B+C+D}{3},$ $\ \dfrac{A+C+D}{3}.$ Sus diferencias por pares son $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3},$ así que un triángulo de baricentros equilátero obliga a $AB=BD=DA;$ es decir, $\triangle ABD$ es equilátero de lado $s=BD.$

Dividiendo a lo largo de $BD,$ $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered}$ donde $C=\angle BCD.$ Por la ley de cosenos $s^2=40-24\cos C,$ así que $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}$

La expresión $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ tiene máximo $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12,$ así que el área máxima es $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The centroids are $\dfrac{A+B+C}{3},$ $\ \dfrac{B+C+D}{3},$ $\ \dfrac{A+C+D}{3}.$ Their pairwise differences are $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3},$ so an equilateral centroid triangle forces $AB=BD=DA;$ that is, $\triangle ABD$ is equilateral with side $s=BD.$

Splitting along $BD,$ $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered}$ where $C=\angle BCD.$ By the Law of Cosines $s^2=40-24\cos C,$ so $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}$

The expression $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ has maximum $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12,$ so the greatest area is $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3.$

Thus, C is the correct answer.