Question

Sea $*$ un símbolo que denota la siguiente operación binaria en el conjunto $S$ de todos los números reales no nulos: para cualesquiera $a,$ $b\in S,$ se define $a*b=2ab.$ ¿Cuál afirmación no es verdadera?

Let $*$ be a symbol denoting the binary operation on the set $S$ of all nonzero real numbers as follows: for any $a,$ $b\in S,$ $a*b=2ab.$ Which statement is not true?

$*$ es conmutativa en $S$

$*$ is commutative over $S$

$*$ es asociativa en $S$

$*$ is associative over $S$

$\frac{1}{2}$ es un elemento identidad para $*$ en $S$

$\frac{1}{2}$ is an identity element for $*$ in $S$

Todo elemento de $S$ tiene un inverso respecto de $*$

Every element of $S$ has an inverse for $*$

$\frac{1}{2a}$ es un inverso respecto de $*$ del elemento $a$ de $S$

$\frac{1}{2a}$ is an inverse for $*$ of the element $a$ of $S$

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Determina primero la identidad $e$ a partir de $a*e=a$

First determine the identity $e$ from $a*e=a$

Pista grande:

Un inverso $x$ de $a$ debe satisfacer $a*x=\frac{1}{2}$

An inverse $x$ of $a$ must satisfy $a*x=\frac{1}{2}$

Solución:

La operación es conmutativa y $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ por lo que también es asociativa. Su identidad es $\frac{1}{2}.$ El inverso de $a$ debe satisfacer $2ax=\frac{1}{2},$ así que es $x=\frac{1}{4a},$ no $\frac{1}{2a}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The operation is commutative, and $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ so it is associative. Its identity is $\frac{1}{2}.$ The inverse of $a$ must satisfy $2ax=\frac{1}{2},$ so it is $x=\frac{1}{4a},$ not $\frac{1}{2a}.$

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 Problema 6

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años