Question

设符号 $*$ 表示非零实数集合 $S$ 上如下定义的二元运算：对任意 $a$ 、 $b\in S$ ，都有 $a*b=2ab$ 。下列哪一项不正确？

Let $*$ be a symbol denoting the binary operation on the set $S$ of all nonzero real numbers as follows: for any $a,$ $b\in S,$ $a*b=2ab.$ Which statement is not true?

$*$ 在 $S$ 上满足交换律

$*$ is commutative over $S$

$*$ 在 $S$ 上满足结合律

$*$ is associative over $S$

$\frac{1}{2}$ 是 $S$ 中运算 $*$ 的单位元

$\frac{1}{2}$ is an identity element for $*$ in $S$

$S$ 中每个元素关于 $*$ 都有逆元

Every element of $S$ has an inverse for $*$

$\frac{1}{2a}$ 是 $S$ 中元素 $a$ 关于 $*$ 的逆元

$\frac{1}{2a}$ is an inverse for $*$ of the element $a$ of $S$

答案：E

知识点：自定义运算代数变形

难度评级：1740

小提示：

先由 $a*e=a$ 求单位元 $e$

First determine the identity $e$ from $a*e=a$

大提示：

$a$ 的逆元 $x$ 必须满足 $a*x=\frac{1}{2}$

An inverse $x$ of $a$ must satisfy $a*x=\frac{1}{2}$

解答：

该运算满足交换律，并且 $(a*b)*c=4abc=a*(b*c)\text{，}$ 所以它也满足结合律。其单位元为 $\frac{1}{2}$ 。 $a$ 的逆元必须满足 $2ax=\frac{1}{2}$ ，故逆元为 $x=\frac{1}{4a}$ ，而不是 $\frac{1}{2a}$ 。

因此，正确答案为 E。

The operation is commutative, and $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ so it is associative. Its identity is $\frac{1}{2}.$ The inverse of $a$ must satisfy $2ax=\frac{1}{2},$ so it is $x=\frac{1}{4a},$ not $\frac{1}{2a}.$

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 第 6 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题