1971 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

数 $N=2^{12}\times5^8$ 的位数是：

The number of digits in the number $N=2^{12}\times5^8$ is:

$9$

$10$

$11$

$12$

$20$

知识点：指数位值配对与分组

难度评级：1200

小提示：

尽可能多地将因数 $2$ 与 $5$ 配对

Pair as many factors of $2$ and $5$ as possible

大提示：

把这个数改写为 $2^4\cdot10^8$

Rewrite the number as $2^4\cdot10^8$

解答：

有 $2^{12}5^8=2^4(2^85^8)$ ，且 $16\cdot10^8=1{,}600{,}000{,}000$ ，该数共有 $10$ 位。

因此，正确答案为 B。

We have $2^{12}5^8=2^4(2^85^8)$ and $16\cdot10^8=1{,}600{,}000{,}000,$ which has $10$ digits.

Therefore, the correct answer is B.

2.

若 $b$ 名工人用 $c$ 天砌好 $f$ 块砖，那么按相同速度， $c$ 名工人砌好 $b$ 块砖所需的天数是：

If $b$ men take $c$ days to lay $f$ bricks, then the number of days it will take $c$ men working at the same rate to lay $b$ bricks is:

$fb^2$

$\frac{b}{f^2}$

$\frac{f^2}{b}$

$\frac{b^2}{f}$

$\frac{f}{b^2}$

知识点：速率比与比例代数变形

难度评级：1430

小提示：

先求一名工人一天能砌多少块砖

Find the number of bricks laid by one man in one day

大提示：

每个工日的效率是 $\frac{f}{bc}$ 块砖

The rate is $\frac{f}{bc}$ bricks per man-day

解答：

每个工日的效率是 $\frac{f}{bc}$ 块砖。因此， $c$ 名工人每天砌 $\frac{f}{b}$ 块砖，所以砌好 $b$ 块砖需要 $\frac{b}{\frac{f}{b}}=\frac{b^2}{f}$ 天。

因此，正确答案为 D。

The rate is $\frac{f}{bc}$ bricks per man-day. Thus $c$ men lay $\frac{f}{b}$ bricks per day, so laying $b$ bricks takes $\frac{b}{\frac{f}{b}}=\frac{b^2}{f}$ days.

Therefore, the correct answer is D.

3.

在 $xy$ 平面内，点 $(x,-4)$ 位于连接 $(0,8)$ 与 $(-4,0)$ 的直线上，则 $x$ 等于：

If the point $(x,-4)$ lies on the straight line joining the points $(0,8)$ and $(-4,0)$ in the $xy$ -plane, then $x$ is equal to:

$-2$

$2$

$-8$

$6$

$-6$

知识点：坐标几何斜率一次方程

难度评级：1310

小提示：

求过两个已知定点的直线斜率

Find the slope through the two given fixed points

大提示：

这条直线的方程是 $y=2x+8$

The line has equation $y=2x+8$

解答：

过 $(0,8)$ 与 $(-4,0)$ 的直线斜率为 $2$ ，所以直线方程为 $y=2x+8$ 。代入 $y=-4$ ，得 $-4=2x+8$ ，因此 $x=-6$ 。

因此，正确答案为 E。

The slope through $(0,8)$ and $(-4,0)$ is $2,$ so the line is $y=2x+8.$ Substituting $y=-4$ gives $-4=2x+8,$ hence $x=-6.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

按年利率 $5\%$ 计入两个月的单利后，某童子军团在理事会金库中的总额为 $\$255.31$ 。所计利息为若干美元再加上下列多少美分：

After simple interest for two months at $5\%$ per annum was credited, a Boy Scout Troop had a total of $\$255.31$ in the Council Treasury. The interest credited was a number of dollars plus the following number of cents:

$11$

$12$

$13$

$21$

$31$

知识点：百分数钱币速率

难度评级：1310

小提示：

两个月是一年的六分之一

Two months is one-sixth of a year

大提示：

若 $P$ 是本金，解方程 $255.31=P(1+\frac{0.05}{6})$

If $P$ is the principal, solve $255.31=P(1+\frac{0.05}{6})$

解答：

若 $P$ 是本金，则 $\begin{aligned} 255.31&=P\left(1+\frac{0.05}{6}\right)\\ &=P\frac{121}{120}\text{。} \end{aligned}$ 因此 $P=253.20$ ，利息为 $\$2.11$ ，其中的美分数为 $11$ 。

因此，正确答案为 A。

If $P$ is the principal, then $\begin{aligned} 255.31&=P\left(1+\frac{0.05}{6}\right)\\ &=P\frac{121}{120}. \end{aligned}$ Hence $P=253.20,$ so the interest is $\$2.11$ and its cents part is $11.$

Therefore, the correct answer is A.

5.

点 $A$ 、 $B$ 、 $Q$ 、 $D$ 和 $C$ 位于图示圆上，弧 $BQ$ 与 $QD$ 的度数分别为 $42^\circ$ 和 $38^\circ$ 。角 $P$ 与 $Q$ 的度数之和是：

Points $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ and $C$ lie on the circle shown, and the measures of arcs $BQ$ and $QD$ are $42^\circ$ and $38^\circ,$ respectively. The sum of the measures of angles $P$ and $Q$ is:

$80^\circ$

$62^\circ$

$40^\circ$

$46^\circ$

以上都不是

None of these

知识点：圆圆周角弧导角

难度评级：1780

小提示：

对角 $P$ 使用圆外两割线所成角公式

Use the external-secant formula for angle $P$

大提示：

加上角 $Q$ 后，未知的截弧会相消

Adding angle $Q$ cancels the unknown intercepted arc

解答：

令 $m\overset{\frown}{AC}=u$ 。由圆外两割线所成角公式， $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right)\text{，}$ 而圆周角定理给出 $m\angle Q=\frac{u}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 C。

Let $m\overset{\frown}{AC}=u.$ The external-secant formula gives $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ while the inscribed-angle theorem gives $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

6.

设符号 $*$ 表示非零实数集合 $S$ 上如下定义的二元运算：对任意 $a$ 、 $b\in S$ ，都有 $a*b=2ab$ 。下列哪一项不正确？

Let $*$ be a symbol denoting the binary operation on the set $S$ of all nonzero real numbers as follows: for any $a,$ $b\in S,$ $a*b=2ab.$ Which statement is not true?

$*$ 在 $S$ 上满足交换律

$*$ is commutative over $S$

$*$ 在 $S$ 上满足结合律

$*$ is associative over $S$

$\frac{1}{2}$ 是 $S$ 中运算 $*$ 的单位元

$\frac{1}{2}$ is an identity element for $*$ in $S$

$S$ 中每个元素关于 $*$ 都有逆元

Every element of $S$ has an inverse for $*$

$\frac{1}{2a}$ 是 $S$ 中元素 $a$ 关于 $*$ 的逆元

$\frac{1}{2a}$ is an inverse for $*$ of the element $a$ of $S$

知识点：自定义运算代数变形

难度评级：1740

小提示：

先由 $a*e=a$ 求单位元 $e$

First determine the identity $e$ from $a*e=a$

大提示：

$a$ 的逆元 $x$ 必须满足 $a*x=\frac{1}{2}$

An inverse $x$ of $a$ must satisfy $a*x=\frac{1}{2}$

解答：

该运算满足交换律，并且 $(a*b)*c=4abc=a*(b*c)\text{，}$ 所以它也满足结合律。其单位元为 $\frac{1}{2}$ 。 $a$ 的逆元必须满足 $2ax=\frac{1}{2}$ ，故逆元为 $x=\frac{1}{4a}$ ，而不是 $\frac{1}{2a}$ 。

因此，正确答案为 E。

The operation is commutative, and $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ so it is associative. Its identity is $\frac{1}{2}.$ The inverse of $a$ must satisfy $2ax=\frac{1}{2},$ so it is $x=\frac{1}{4a},$ not $\frac{1}{2a}.$

Therefore, the correct answer is E.

7.

$2^{-(2k+1)}-2^{-(2k-1)}+2^{-2k}$ 等于：

$2^{-(2k+1)}-2^{-(2k-1)}+2^{-2k}$ is equal to:

$2^{-2k}$

$2^{-(2k-1)}$

$-2^{-(2k+1)}$

$0$

$2$

知识点：指数因式分解代数变形

难度评级：1590

小提示：

提取 $2$ 的幂次最小的那一项

Factor out the term with the smallest power of $2$

大提示：

利用 $2^{-(2k-1)}=4\cdot2^{-(2k+1)}$

Use $2^{-(2k-1)}=4\cdot2^{-(2k+1)}$

解答：

提取公因式可得 $2^{-(2k+1)}(1-4+2)=-2^{-(2k+1)}\text{。}$

因此，正确答案为 C。

Factoring gives $2^{-(2k+1)}(1-4+2)=-2^{-(2k+1)}.$

Therefore, the correct answer is C.

8.

不等式 $6x^2+5x\lt4$ 的解集是满足下列哪一条件的所有 $x$ ：

The solution set of $6x^2+5x\lt4$ is the set of all values of $x$ such that:

$-2\lt x\lt1$

$-\dfrac43\lt x\lt\dfrac12$

$-\dfrac12\lt x\lt\dfrac43$

$x\lt\dfrac12$ 或 $x\gt-\dfrac43$

$x\lt\dfrac12$ or $x\gt-\dfrac43$

$x\lt-\dfrac43$ 或 $x\gt\dfrac12$

$x\lt-\dfrac43$ or $x\gt\dfrac12$

知识点：不等式因式分解二次方程

难度评级：1640

小提示：

把 $4$ 移到左边并因式分解

Move $4$ to the left and factor

大提示：

乘积 $(3x+4)(2x-1)$ 在两个根之间为负

The product $(3x+4)(2x-1)$ is negative between its roots

解答：

该不等式等价于 $\begin{aligned} 6x^2+5x-4&\lt0,\\ (3x+4)(2x-1)&\lt0\text{。} \end{aligned}$ 两个根是 $-\frac{4}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，开口向上的二次函数在两根之间为负。

因此，正确答案为 B。

The inequality is $\begin{aligned} 6x^2+5x-4&\lt0,\\ (3x+4)(2x-1)&\lt0. \end{aligned}$ The roots are $-\frac{4}{3}$ and $\frac{1}{2},$ and the upward-opening quadratic is negative between them.

Therefore, the correct answer is B.

9.

一条不交叉且没有松弛的皮带绕在半径分别为 $14$ 英寸和 $4$ 英寸的两个圆形皮带轮上。若皮带与两皮带轮的两个切点之间相距 $24$ 英寸，则两皮带轮圆心之间的距离（英寸）为：

An uncrossed belt is fitted without slack around two circular pulleys with radii of $14$ inches and $4$ inches. If the distance between the points of contact of the belt with the pulleys is $24$ inches, then the distance between the centers of the pulleys in inches is:

$24$

$2\sqrt{119}$

$25$

$26$

$4\sqrt{35}$

知识点：圆切线勾股定理

难度评级：1760

小提示：

连接两个圆心，并利用半径之差

Join the centers and use the difference of the radii

大提示：

圆心距是两直角边为 $24$ 和 $10$ 的直角三角形的斜边

The center distance is the hypotenuse of a right triangle with legs $24$ and $10$

解答：

公外切线与连接圆心和切点的两条半径构成一个直角三角形，其两条直角边长为 $24$ 和 $14-4=10$ 。因此圆心距为 $\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26\text{。}$

因此，正确答案为 D。

The common external tangent and the radii to its contact points form a right triangle whose legs are $24$ and $14-4=10.$ Thus the center distance is $\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26.$

Therefore, the correct answer is D.

10.

某组有 $50$ 名女孩，每人都是金发或深色头发，并且都是蓝眼睛或棕眼睛。若其中 $14$ 名是蓝眼睛的金发女孩， $31$ 名是深色头发， $18$ 名是棕眼睛，则棕眼睛且深色头发的女孩有：

Each of a group of $50$ girls is blonde or brunette and is blue-eyed or brown-eyed. If $14$ are blue-eyed blondes, $31$ are brunettes, and $18$ are brown-eyed, then the number of brown-eyed brunettes is:

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

知识点：韦恩图基本计数

难度评级：1360

小提示：

先求金发女孩的总人数

First find the total number of blondes

大提示：

从所有棕眼睛女孩中减去棕眼睛的金发女孩人数

Subtract the brown-eyed blondes from all brown-eyed girls

解答：

共有 $50-31=19$ 名金发女孩，其中 $19-14=5$ 名是棕眼睛。因此，棕眼睛且深色头发的女孩有 $18-5=13$ 名。

因此，正确答案为 E。

There are $50-31=19$ blondes, of whom $19-14=5$ are brown-eyed. Hence the number of brown-eyed brunettes is $18-5=13.$

Therefore, the correct answer is E.

11.

$a$ 进制数 $47$ 与 $b$ 进制数 $74$ 表示同一个数。假设两个进制的基数都是正整数，则 $a+b$ 的最小可能值写成罗马数字是：

The numeral $47$ in base $a$ represents the same number as $74$ in base $b.$ Assuming both bases are positive integers, the least possible value of $a+b,$ written as a Roman numeral, is:

$\mathrm{XIII}$

$\mathrm{XV}$

$\mathrm{XXI}$

$\mathrm{XXIV}$

$\mathrm{XVI}$

知识点：进制丢番图方程模运算

难度评级：1850

小提示：

把这两个进制数写成等式 $4a+7=7b+4$

Translate the numerals into $4a+7=7b+4$

大提示：

两个基数都大于 $7$ ；解 $4a-7b=-3$ ，求最小的有效数对

Both bases exceed $7$ ; solve $4a-7b=-3$ for the least valid pair

解答：

等式为 $4a+7=7b+4$ ，即 $4a-7b=-3$ 。由于两个数码都必须有效，所以 $a,b\gt7$ 。模 $7$ 化简得 $a\equiv1\pmod7$ 。第一个有效值是 $a=15$ ，对应 $b=9$ 。因此 $a+b=24$ ，写成罗马数字为 $\mathrm{XXIV}$ 。

因此，正确答案为 D。

The equality is $4a+7=7b+4,$ or $4a-7b=-3.$ Since both digits must be valid, $a,b\gt7.$ Reducing modulo $7$ gives $a\equiv1\pmod7.$ The first valid value is $a=15,$ which gives $b=9.$ Thus $a+b=24,$ written $\mathrm{XXIV}.$

Therefore, the correct answer is D.

12.

对每个整数 $N\gt1$ ，规定：若两个正整数除以 $N$ 后所得的非负余数相同，则称它们同余。若 $69$ 、 $90$ 和 $125$ 在某个这样的体系中同余，那么在同一体系中， $81$ 与下列哪个数同余：

For each integer $N\gt1,$ define positive integers to be congruent if they leave the same nonnegative remainder when divided by $N.$ If $69,$ $90,$ and $125$ are congruent in one such system, then in that same system, $81$ is congruent to:

$3$

$4$

$5$

$7$

$8$

知识点：模运算最大公约数整除性

难度评级：1520

小提示：

模数整除任意两个同余整数之差

The modulus divides the difference of any two congruent integers

大提示：

利用差 $21$ 和 $35$

Use the differences $21$ and $35$

解答：

模数 $N$ 同时整除 $90-69=21$ 与 $125-90=35$ 。由于 $N\gt1$ ，只能有 $N=7$ 。于是 $81\equiv4\pmod7$ 。

因此，正确答案为 B。

The modulus $N$ divides both $90-69=21$ and $125-90=35.$ Since $N\gt1,$ this forces $N=7.$ Then $81\equiv4\pmod7.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

将 $(1.0025)^{10}$ 的值精确到小数点后 $5$ 位，则小数点后第五位数字是：

If $(1.0025)^{10}$ is evaluated correct to $5$ decimal places, then the digit in the fifth decimal place is:

$0$

$1$

$2$

$5$

$8$

知识点：二项式定理小数估算

难度评级：1900

小提示：

写成 $1.0025=1+0.0025$

Write $1.0025=1+0.0025$

大提示：

在二项式展开中，保留足以影响小数点后第五位的项

In the binomial expansion, retain terms large enough to affect the fifth decimal place

解答：

二项式展开给出 $\begin{gathered} (1+0.0025)^{10}\\ =1+10(0.0025)\\ \quad+45(0.0025)^2\\ \quad+120(0.0025)^3+\cdots\\ =1.025283125\ldots \end{gathered}$ 四舍五入后为 $1.02528$ 。小数点后第五位数字是 $8$ 。

因此，正确答案为 E。

The binomial expansion gives $\begin{gathered} (1+0.0025)^{10}\\ =1+10(0.0025)\\ \quad+45(0.0025)^2\\ \quad+120(0.0025)^3+\cdots\\ =1.025283125\ldots \end{gathered}$ which rounds to $1.02528.$ The fifth decimal digit is $8.$

Therefore, the correct answer is E.

14.

数 $2^{48}-1$ 能被 $60$ 与 $70$ 之间的两个数整除。这两个数是：

The number $2^{48}-1$ is exactly divisible by two numbers between $60$ and $70.$ These numbers are:

$61$ 、 $63$

$61,$ $63$

$61$ 、 $65$

$61,$ $65$

$63$ 、 $65$

$63,$ $65$

$63$ 、 $67$

$63,$ $67$

$67$ 、 $69$

$67,$ $69$

知识点：因式分解指数整除性

难度评级：1990

小提示：

利用性质：若 $n$ 是 $m$ 的倍数，则 $2^m-1$ 整除 $2^n-1$

Use the fact that $2^m-1$ divides $2^n-1$ whenever $n$ is divisible by $m$

大提示：

注意 $63=2^6-1$ ，并且 $2^{12}-1$ 是 $65$ 的倍数

Recognize $63=2^6-1$ and that $2^{12}-1$ is divisible by $65$

解答：

因为 $48$ 是 $6$ 的倍数，所以 $2^{48}-1$ 是 $63=2^6-1$ 的倍数。又有 $2^{12}-1=4095=63\cdot65$ ，且 $48$ 是 $12$ 的倍数，所以 $2^{48}-1$ 是 $65$ 的倍数。因此这两个数是 $63$ 和 $65$ 。

因此，正确答案为 C。

Because $48$ is divisible by $6,$ the number $2^{48}-1$ is divisible by $63=2^6-1.$ Also $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ and $48$ is divisible by $12,$ so $2^{48}-1$ is divisible by $65.$ Thus the two numbers are $63$ and $65.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

一个放在水平桌面上的长方体水族箱宽 $10$ 英寸、高 $8$ 英寸。将水族箱倾斜时，水恰好覆盖一个 $8$ 英寸乘 $10$ 英寸的端面，而只覆盖长方形底面的四分之三。将底面重新放平后，水深为：

An aquarium on a level table has rectangular faces and is $10$ inches wide and $8$ inches high. When it was tilted, the water in it just covered an $8$ -inch by $10$ -inch end but only three-fourths of the rectangular bottom. The depth of the water when the bottom was again made level was:

$2\tfrac12$ 英寸

$2\tfrac12$ inches

$3$ 英寸

$3$ inches

$3\tfrac14$ 英寸

$3\tfrac14$ inches

$3\tfrac12$ 英寸

$3\tfrac12$ inches

$4$ 英寸

$4$ inches

知识点：体积三角形面积比与比例

难度评级：1760

小提示：

比较倾斜和水平放置时的水量

Compare the water volume in the tilted and level positions

大提示：

倾斜时的纵向截面是一个高为 $8$ 、底为水族箱长度四分之三的三角形

The tilted side view is a triangle with height $8$ and base three-fourths of the aquarium length

解答：

设水族箱长为 $L$ ，水平放置时的水深为 $h$ 。倾斜时，水的纵向截面是一个底为 $\frac{3L}{4}$ 、高为 $8$ 的三角形。因此 $10\left(\frac12\cdot\frac{3L}{4}\cdot8\right)=10Lh\text{，}$ 所以 $h=3$ 英寸。

因此，正确答案为 B。

Let the aquarium length be $L$ and the level-water depth be $h.$ In the tilted position the longitudinal cross-section of the water is a triangle with base $\frac{3L}{4}$ and height $8.$ Therefore $10\left(\frac12\cdot\frac{3L}{4}\cdot8\right)=10Lh,$ so $h=3$ inches.

Therefore, the correct answer is B.

16.

一名学生求出 $35$ 个分数的平均数后，粗心地把这个平均数也加入原来的 $35$ 个分数中，再求这 $36$ 个数的平均数。第二次所得平均数与真实平均数之比为：

After finding the average of $35$ scores, a student carelessly included the average with the $35$ scores and found the average of these $36$ numbers. The ratio of the second average to the true average was:

$1:1$

$35:36$

$36:35$

$2:1$

以上都不是

None of these

知识点：平均数代数变形

难度评级：1200

小提示：

设原来的平均数为 $x$

Call the original average $x$

大提示：

原来的总和为 $35x$ ，额外加入的数也是 $x$

The original sum is $35x$ , and the extra number is also $x$

解答：

若真实平均数为 $x$ ，则原来的总和为 $35x$ 。再加入 $x$ 本身后， $36$ 个数的总和为 $36x$ ，所以新平均数仍为 $x$ 。所求比为 $1:1$ 。

因此，正确答案为 A。

If the true average is $x,$ then the original sum is $35x.$ Including $x$ itself gives a sum of $36x$ over $36$ numbers, so the new average is still $x.$ The ratio is $1:1.$

Therefore, the correct answer is A.

17.

用 $2n$ 条等间隔的半径 $(n\gt0)$ 和一条割线分割一个圆盘。该圆盘最多能被分成多少个互不重叠的区域：

A circular disk is divided by $2n$ equally spaced radii $(n\gt0)$ and one secant line. The maximum number of nonoverlapping areas into which the disk can be divided is:

$2n+1$

$2n+2$

$3n-1$

$3n$

$3n+1$

知识点：区域计数交点计数圆

难度评级：2060

小提示：

从这 $2n$ 条半径形成的扇形数开始计算

Begin with the $2n$ sectors made by the radii

大提示：

一条割线至多与 $n$ 条半径相交，再数割线弦段被分成的部分

A secant can cross at most $n$ of the radii, so count the pieces of the secant chord

解答：

这些半径先形成 $2n$ 个扇形。一条不过圆心的割线在 $n$ 对反向半径中的每一对里至多与一条相交，因此至多与 $n$ 条半径相交。这些交点把圆内的割线弦段分成 $n+1$ 段，每段都会增加一个区域。因此最大区域数为 $2n+(n+1)=3n+1$ 。

因此，正确答案为 E。

The radii first make $2n$ sectors. A secant not through the center can meet at most one radius in each of $n$ opposite pairs, hence at most $n$ radii. Those intersections divide the secant chord into $n+1$ pieces, each of which adds one region. The maximum is therefore $2n+(n+1)=3n+1.$

Therefore, the correct answer is E.

18.

河水以每小时 $3$ 英里的速度稳定流动。一艘在静水中速度恒定的摩托艇顺流行驶 $4$ 英里后返回出发点。除去掉头时间，全程用时一小时。顺流速度与逆流速度之比为：

The current in a river flows steadily at $3$ miles per hour. A motorboat traveling at a constant rate in still water goes downstream $4$ miles and then returns to its starting point. The trip takes one hour, excluding turning time. The ratio of the downstream rate to the upstream rate is:

$4:3$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$5:2$

知识点：相对速度路程、速度与时间二次方程

难度评级：1760

小提示：

设船在静水中的速度为 $v$

Let $v$ be the boat’s still-water speed

大提示：

解方程 $\frac{4}{v+3}+\frac{4}{v-3}=1$

Solve $\frac{4}{v+3}+\frac{4}{v-3}=1$

解答：

若 $v$ 是船在静水中的速度，则 $\frac4{v+3}+\frac4{v-3}=1\text{。}$ 化简得 $v^2-8v-9=0$ ，所以满足条件的正根是 $v=9$ 。顺流与逆流速度分别为 $12$ 和 $6$ ，其比为 $2:1$ 。

因此，正确答案为 D。

If $v$ is the still-water speed, then $\frac4{v+3}+\frac4{v-3}=1.$ This simplifies to $v^2-8v-9=0,$ so the positive admissible solution is $v=9.$ The downstream and upstream rates are $12$ and $6,$ whose ratio is $2:1.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 恰有一个交点，则 $m^2$ 的值为：

If the line $y=mx+1$ intersects the ellipse $x^2+4y^2=1$ exactly once, then the value of $m^2$ is:

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{5}{6}$

知识点：椭圆切线二次方程

难度评级：2020

小提示：

将直线方程代入椭圆方程

Substitute the line equation into the ellipse

大提示：

恰有一个交点意味着所得二次方程的判别式为零

Exactly one intersection means the resulting quadratic has discriminant zero

解答：

代入可得 $(1+4m^2)x^2+8mx+3=0\text{。}$ 相切要求判别式为零： $64m^2-12(1+4m^2)=0\text{。}$ 因此 $16m^2=12$ ，所以 $m^2=\frac{3}{4}$ 。

因此，正确答案为 C。

Substitution gives $(1+4m^2)x^2+8mx+3=0.$ Tangency requires its discriminant to vanish: $64m^2-12(1+4m^2)=0.$ Thus $16m^2=12,$ so $m^2=\frac{3}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

方程 $x^2+2hx=3$ 的两根平方和为 $10$ 。 $h$ 的绝对值等于：

The sum of the squares of the roots of the equation $x^2+2hx=3$ is $10.$ The absolute value of $h$ is equal to:

$-1$

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$2$

以上都不是

None of these

知识点：韦达定理二次方程代数变形

难度评级：1640

小提示：

利用两根的和与积

Use the sum and product of the two roots

大提示：

若两根为 $r,s$ ，则 $r+s=-2h$ 且 $rs=-3$

If the roots are $r,s,$ then $r+s=-2h$ and $rs=-3$

解答：

设两根为 $r,s$ ，由韦达定理， $r+s=-2h$ 且 $rs=-3$ 。于是 $\begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4\text{。} \end{aligned}$ 因此 $|h|=1$ 。选项 A 为 $-1$ ，所以选项 A 至 D 中均没有该值。

因此，正确答案为 E。

For roots $r,s,$ Vieta’s formulas give $r+s=-2h$ and $rs=-3.$ Hence $\begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4. \end{aligned}$ Therefore $|h|=1,$ which is not among choices A-D because choice A is $-1.$

Therefore, the correct answer is E.

21.

若 $\begin{gathered} \log_2(\log_3(\log_4x))=0,\\ \log_3(\log_4(\log_2y))=0,\\ \log_4(\log_2(\log_3z))=0\text{，} \end{gathered}$ 则 $x+y+z$ 等于：

If $\begin{gathered} \log_2(\log_3(\log_4x))=0,\\ \log_3(\log_4(\log_2y))=0,\\ \log_4(\log_2(\log_3z))=0, \end{gathered}$ then $x+y+z$ is equal to:

$50$

$58$

$89$

$111$

$1296$

知识点：对数指数函数

难度评级：1850

小提示：

从最外层向内逐层撤销每个对数

Undo each logarithm from the outside inward

大提示：

对第一条对数链，各层内部值依次为 $1,3$ ，然后得到 $x=4^3$

For the first chain, the successive inner values are $1,3,$ and then $x=4^3$

解答：

从最外层向内逐层撤销对数，可得 $\begin{gathered} x=4^3=64,\\ y=2^4=16,\\ z=3^2=9\text{。} \end{gathered}$ 因此 $x+y+z=64+16+9=89$ 。

因此，正确答案为 C。

Undoing the logarithms from the outside inward gives $\begin{gathered} x=4^3=64,\\ y=2^4=16,\\ z=3^2=9. \end{gathered}$ Therefore $x+y+z=64+16+9=89.$

Therefore, the correct answer is C.

22.

若 $w$ 是 $x^3=1$ 的一个虚根，则 $(1-w+w^2)(1+w-w^2)$ 等于：

If $w$ is one of the imaginary roots of $x^3=1,$ then $(1-w+w^2)(1+w-w^2)$ is equal to:

$4$

$w$

$2$

$w^2$

$1$

知识点：复数单位根因式分解

难度评级：1700

小提示：

利用 $w^2+w+1=0$

Use $w^2+w+1=0$

大提示：

把 $1+w^2$ 替换为 $-w$ ，把 $1+w$ 替换为 $-w^2$

Replace $1+w^2$ by $-w$ and $1+w$ by $-w^2$

解答：

由于 $w\ne1$ 且 $w^3=1$ ，有 $1+w+w^2=0$ 。因此 $\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2\text{。} \end{gathered}$ 两式之积为 $4w^3=4$ 。

因此，正确答案为 A。

Because $w\ne1$ and $w^3=1,$ we have $1+w+w^2=0.$ Thus $\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2. \end{gathered}$ Their product is $4w^3=4.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

队 $A$ 与队 $B$ 正在进行一系列比赛。若每场比赛两队获胜的概率相同，而且队 $A$ 再赢两场即可赢得系列赛，队 $B$ 则需再赢三场，那么队 $A$ 赢得系列赛的有利赔率为：

Teams $A$ and $B$ are playing a series of games. If either team has an equal chance to win any game, and Team $A$ must win two games while Team $B$ must win three games to win the series, then the odds favoring Team $A$ to win the series are:

$11$ 比 $5$

$11$ to $5$

$5$ 比 $2$

$5$ to $2$

$8$ 比 $3$

$8$ to $3$

$3$ 比 $2$

$3$ to $2$

$13$ 比 $6$

$13$ to $6$

知识点：基本概率对立事件概率分类讨论

难度评级：1990

小提示：

枚举队 $A$ 输掉系列赛的方式更简短

It is shorter to enumerate the ways Team $A$ can lose

大提示：

在 $A$ 第二次获胜之前， $B$ 可按 BBB、ABBB、BABB 或 BBAB 的顺序结束系列赛

Before $A$ ’s second win, $B$ can finish as BBB, ABBB, BABB, or BBAB

解答：

队 $A$ 在序列 BBB、ABBB、BABB 和 BBAB 中输掉系列赛。这些序列的总概率为 $\frac18+3\left(\frac1{16}\right)=\frac5{16}\text{。}$ 因此队 $A$ 获胜的概率为 $\frac{11}{16}$ ，其有利赔率为 $11:5$ 。

因此，正确答案为 A。

Team $A$ loses in the sequences BBB, ABBB, BABB, and BBAB. Their total probability is $\frac18+3\left(\frac1{16}\right)=\frac5{16}.$ Thus Team $A$ wins with probability $\frac{11}{16},$ so the odds in its favor are $11:5.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

帕斯卡三角形是如下所示的正整数阵列，其中第一行为 $1$ ，第二行有两个 $1$ ，每行都以 $1$ 开头和结尾，其余每个数都是其上方两个数之和。

在前 $n$ 行中，不等于 $1$ 的数的个数与等于 $1$ 的数的个数之比为：

Pascal’s triangle is an array of positive integers, shown below, in which the first row is $1,$ the second row is two $1$ ’s, each row begins and ends with $1,$ and each other entry is the sum of the two entries above it.

The quotient of the number of entries in the first $n$ rows which are not $1$ ’s and the number of $1$ ’s is:

$\dfrac{n^2-n}{2n-1}$

$\dfrac{n^2-n}{4n-2}$

$\dfrac{n^2-2n}{2n-1}$

$\dfrac{n^2-3n+2}{4n-2}$

以上都不是

None of these

知识点：杨辉三角等差数列基本计数

难度评级：1760

小提示：

先数所有项，再减去边界上的 $1$

Count all entries and then subtract the boundary $1$ ’s

大提示：

前 $n$ 行共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 项，边界上共有 $2n-1$ 个 $1$

The first $n$ rows contain $\frac{n(n+1)}{2}$ entries and $2n-1$ boundary $1$ ’s

解答：

前 $n$ 行共有 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 项。边界上有 $2n-1$ 个 $1$ ，所以其余项的个数为 $\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}\text{。} \end{gathered}$ 除以 $2n-1$ ，得到 $\frac{n^2-3n+2}{4n-2}$ 。

因此，正确答案为 D。

The first $n$ rows contain $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ entries. There are $2n-1$ boundary $1$ ’s, so the number of other entries is $\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}$ Dividing by $2n-1$ gives $\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

一名少年把自己的年龄写在父亲年龄的后面。他从得到的这个四位数中减去两人年龄差的绝对值，结果为 $4{,}289$ 。两人的年龄之和为：

A teenage boy wrote his own age after his father’s. From this new four-place number, he subtracted the absolute value of the difference of their ages to get $4{,}289.$ The sum of their ages was:

$48$

$52$

$56$

$59$

$64$

知识点：年龄问题数字丢番图方程模运算

难度评级：1880

小提示：

设父亲的年龄为 $f$ ，少年的年龄为 $b$

Let the father’s age be $f$ and the boy’s age be $b$

大提示：

拼接所得的数是 $100f+b$ ，所以利用 $99f+2b=4289$

The concatenated number is $100f+b$ , so use $99f+2b=4289$

解答：

设父亲和少年的年龄分别为 $f$ 与 $b$ 。由于 $f\gt b$ ， $\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289\text{。} \end{aligned}$ 少年处于十几岁，所以 $13\le b\le19$ 。模 $9$ 化简得 $2b\equiv5\pmod9$ ，因此 $b=16$ 。于是 $f=\frac{4289-32}{99}=43$ ，且 $f+b=59$ 。

因此，正确答案为 D。

Let the father and boy be $f$ and $b$ years old. Since $f\gt b,$ $\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289. \end{aligned}$ The boy is a teenager, so $13\le b\le19.$ Reducing modulo $9$ gives $2b\equiv5\pmod9,$ hence $b=16.$ Then $f=\frac{4289-32}{99}=43,$ and $f+b=59.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

在三角形 $ABC$ 中，点 $F$ 按 $1:2$ 分割边 $AC$ 。设 $G$ 为 $BF$ 的中点，直线 $AG$ 与边 $BC$ 交于点 $E$ 。则 $E$ 分割 $BC$ 的比为：

In triangle $ABC,$ point $F$ divides side $AC$ in the ratio $1:2.$ Let $E$ be the point where side $BC$ meets $AG,$ where $G$ is the midpoint of $BF.$ Then $E$ divides $BC$ in the ratio:

$1:4$

$1:3$

$2:5$

$4:11$

$3:8$

知识点：质点法中点比与比例

难度评级：2060

小提示：

为端点分配质量，使 $AF:FC=1:2$

Assign endpoint masses so that $AF:FC=1:2$

大提示：

中点条件使 $B$ 与 $F$ 处的质量相等

The midpoint condition makes the masses at $B$ and $F$ equal

解答：

使用质量点法。由于 $AF:FC=1:2$ ，给 $A$ 与 $C$ 分别赋质量 $2$ 与 $1$ ，于是 $F$ 处的质量为 $3$ 。因为 $G$ 是 $BF$ 的中点，所以 $B$ 处的质量也为 $3$ 。因此 $BE:EC=m_C:m_B=1:3\text{。}$

因此，正确答案为 B。

Use mass points. Since $AF:FC=1:2,$ assign masses $2$ and $1$ to $A$ and $C,$ so the mass at $F$ is $3.$ Because $G$ is the midpoint of $BF,$ the mass at $B$ is also $3.$ Therefore $BE:EC=m_C:m_B=1:3.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

一个盒子里装有筹码，每枚筹码都是红色、白色或蓝色。蓝色筹码的数量至少是白色筹码数量的一半，且至多是红色筹码数量的三分之一。白色或蓝色筹码总数至少为 $55$ 。红色筹码的最少数量为：

A box contains chips, each of which is red, white, or blue. The number of blue chips is at least half the number of white chips and at most one-third the number of red chips. The number which are white or blue is at least $55.$ The minimum number of red chips is:

$24$

$33$

$45$

$54$

$57$

知识点：不等式最优化极限情形界定

难度评级：1880

小提示：

设三种筹码的数量分别为 $r,w,b$ ，把每个条件都写成不等式

Let the counts be $r,w,b$ and translate every condition into an inequality

大提示：

由 $w\le2b$ 与 $w+b\ge55$ 求整数 $b$ 的最小可能值

From $w\le2b$ and $w+b\ge55$ , find the least possible integer $b$

解答：

设三种筹码的数量分别为 $r,w,b$ 。条件给出 $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55\text{。} \end{gathered}$ 因此 $3b\ge w+b\ge55$ ，所以 $b\ge19$ ，且 $r\ge57$ 。取 $(w,b,r)=(36,19,57)$ 时可以达到等号，因此最小值为 $57$ 。

因此，正确答案为 E。

Let the counts be $r,w,b.$ The conditions give $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}$ Hence $3b\ge w+b\ge55,$ so $b\ge19$ and $r\ge57.$ Equality is possible with $(w,b,r)=(36,19,57),$ so the minimum is $57.$

Therefore, the correct answer is E.

28.

三角形内有九条平行于底边的直线，把另外两边各分成 $10$ 个等长线段，并把三角形面积分成 $10$ 个不同部分。若其中最大部分的面积为 $38$ ，则原三角形的面积为：

Nine lines parallel to the base of a triangle divide the other sides each into $10$ equal segments and the area into $10$ distinct parts. If the area of the largest of these parts is $38,$ then the area of the original triangle is:

$180$

$190$

$200$

$210$

$240$

知识点：相似面积比面积分割

难度评级：1780

小提示：

最大的部分是最下面的条带

The largest part is the bottom strip

大提示：

该条带上方的小三角形与原三角形的线性比例为 $\frac{9}{10}$

The smaller triangle above that strip has linear scale $\frac{9}{10}$

解答：

设总面积为 $K$ 。最下面条带上方的三角形与原三角形相似，线性比例为 $\frac{9}{10}$ ，所以其面积为 $\frac{81K}{100}$ 。因此最大条带的面积为 $K-\frac{81K}{100}=\frac{19K}{100}=38\text{，}$ 从而 $K=200$ 。

因此，正确答案为 C。

If the whole area is $K,$ the triangle above the bottom strip is similar to the original with scale $\frac{9}{10},$ so its area is $\frac{81K}{100}.$ Thus the largest strip has area $K-\frac{81K}{100}=\frac{19K}{100}=38,$ giving $K=200.$

Therefore, the correct answer is C.

29.

给定数列 $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}\text{，} \end{gathered}$ 使前 $n$ 项之积大于 $100{,}000$ 的最小正整数 $n$ 为：

Given the progression $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ the least positive integer $n$ such that the product of the first $n$ terms exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

知识点：等比数列指数三角形数不等式

难度评级：1760

小提示：

各项相乘时，把指数相加

Add the exponents when multiplying the terms

大提示：

要求 $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ ，注意等号并不满足条件

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , noting that equality is not enough

解答：

该乘积为 $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。}$ 它大于 $100{,}000=10^5$ 当且仅当 $n(n+1)\gt110$ 。当 $n=10$ 时恰好相等，而 $n=11$ 时满足条件。

因此，正确答案为 E。

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ It exceeds $100{,}000=10^5$ exactly when $n(n+1)\gt110.$ For $n=10$ there is equality, while $n=11$ works.

Therefore, the correct answer is E.

30.

给定线性分式变换 $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1}\text{，}$ 对 $n=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ ，定义 $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ 。若 $f_{35}(x)=f_5(x)$ ，则 $f_{28}(x)$ 等于：

Given the linear fractional transformation $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ for $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Assuming $f_{35}(x)=f_5(x),$ it follows that $f_{28}(x)$ is equal to:

$x$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x}$

以上都不是

None of these

知识点：函数递推变换

难度评级：2340

小提示：

通过复合逆变换消去五次迭代

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

大提示：

若 $g=f_1^{-1}$ ，那么在 $f_{30}$ 为恒等变换后有 $f_{28}=g^2$

If $g=f_1^{-1}$ , then $f_{28}=g^2$ once $f_{30}$ is the identity

解答：

该变换可逆。由 $f_{35}=f_5$ ，与 $f_5^{-1}$ 复合可知 $f_{30}$ 是恒等变换。由 $y=\frac{2x-1}{x+1}$ 解出 $x$ ，得 $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}\text{。}$ 由于迭代的周期为 $30$ ， $f_{28}=f_{-2}=g^2$ 。直接复合得到 $g(g(x))=\frac{1}{1-x}\text{。}$

因此，正确答案为 D。

The transformation is invertible. From $f_{35}=f_5,$ composing with $f_5^{-1}$ shows that $f_{30}$ is the identity. Solving $y=\frac{2x-1}{x+1}$ for $x$ gives $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Since iterates have period $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ Direct composition gives $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

四边形 $ABCD$ 内接于一个圆，边 $AD$ 是长为 $4$ 的直径。若边 $AB$ 和 $BC$ 的长度都为 $1$ ，则边 $CD$ 的长度为：

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with side $AD,$ a diameter of length $4.$ If sides $AB$ and $BC$ each have length $1,$ then side $CD$ has length:

$\frac{7}{2}$

$\frac{5\sqrt2}{2}$

$\sqrt{11}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt3$

知识点：圆弦三角恒等式

难度评级：2190

小提示：

等弦 $AB$ 与 $BC$ 所对的圆心角相等

Equal chords $AB$ and $BC$ subtend equal central angles

大提示：

若其中任一圆心角的一半为 $t$ ，则 $4\sin t=1$ ，且 $CD=4\cos(2t)$

If half of either central angle is $t$ , then $4\sin t=1$ and $CD=4\cos(2t)$

解答：

该圆的半径为 $2$ 。设等弦 $AB$ 与 $BC$ 所对的圆心角都为 $2t$ 。则 $1=4\sin t\text{，}$ 所以 $\sin t=\frac{1}{4}$ 。沿半圆从 $C$ 到 $D$ 的剩余圆心角为 $\pi-4t$ ，故 $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 A。

The circle has radius $2.$ Let the central angles subtending the equal chords $AB$ and $BC$ each be $2t.$ Then $1=4\sin t,$ so $\sin t=\frac{1}{4}.$ The remaining central angle from $C$ to $D$ along the semicircle is $\pi-4t,$ hence $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

32.

若 $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}})\text{，} \end{aligned}$ 则 $s$ 等于：

If $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ then $s$ is equal to:

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$1-2^{-\frac{1}{32}}$

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})$

$\frac{1}{2}$

知识点：平方差裂项相消指数

难度评级：2210

小提示：

令 $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Set $x=2^{-\frac{1}{32}}$

大提示：

从因子 $1+x^{16}$ 开始，反复应用平方差公式

Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor $1+x^{16}$

解答：

令 $x=2^{-\frac{1}{32}}$ 。则 $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12\text{。} \end{aligned}$ 因此 $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}\text{。}$

因此，正确答案为 A。

Let $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Then $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Therefore $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Therefore, the correct answer is A.

33.

若 $P$ 是等比数列中 $n$ 个量的乘积， $S$ 是它们的和， $S'$ 是它们倒数的和，则用 $S$ 、 $S'$ 和 $n$ 表示的 $P$ 为：

If $P$ is the product of $n$ quantities in geometric progression, $S$ their sum, and $S'$ the sum of their reciprocals, then $P$ in terms of $S,$ $S',$ and $n$ is:

$(SS')^{\frac{n}{2}}$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}$

$(SS')^{n-2}$

$(\frac{S}{S'})^n$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}$

知识点：等比数列代数变形

难度评级：2300

小提示：

把这个等比数列写成 $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Write the progression as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

大提示：

证明 $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ ，其 $\frac{n}{2}$ 次幂正是所求乘积

Show that $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , whose $\frac{n}{2}$ power is the product

解答：

把这些项写成 $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$ 。将倒数之和反向排列可得 $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}}\text{，}$ 所以 $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ 。另一方面， $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 B。

Write the terms as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Reversing the reciprocal sum gives $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ so $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Meanwhile $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

34.

工厂里的一只普通钟走得慢，但分针仍在通常的表盘位置（ $12$ 点等）追上时针，只是每隔 $69$ 分钟才追上一次。按加班工资为正常工资的一倍半计算，一名时薪 $\$4.00$ 的工人按这只慢钟工作完正常的 $8$ 小时后，应得的额外工资为：

An ordinary clock in a factory is running slow so that the minute hand passes the hour hand at the usual dial positions ( $12$ o’clock, etc.) but only every $69$ minutes. At time and one-half for overtime, the extra pay to which a $\$4.00$ -per-hour worker should be entitled after working a normal $8$ -hour day by that slow-running clock is:

$\$2.30$

$\$2.60$

$\$2.80$

$\$3.00$

$\$3.30$

知识点：时钟速率钱币比与比例

难度评级：1850

小提示：

正常时钟的两针每隔 $\frac{720}{11}$ 分钟重合一次

A normal clock’s hands pass every $\frac{720}{11}$ minutes

大提示：

慢钟的十一个重合间隔显示为 $12$ 小时，实际却经过 $12$ 小时 $39$ 分钟

Eleven slow-clock intervals total $12$ displayed hours but $12$ hours $39$ minutes of real time

解答：

正常情况下，相邻两次指针重合的实际间隔为 $\frac{720}{11}$ 分钟，而这只慢钟在两次重合之间显示经过 $69$ 分钟。因此，慢钟显示 $12$ 小时时，实际经过 $759$ 分钟，因为 $11\cdot69=759=12\cdot60+39\text{。}$ 所以慢钟显示的八小时实际耗时 $8$ 小时 $26$ 分钟，加班时间为 $26$ 分钟。按每小时 $\$6$ 计算，加班工资为 $\$2.60$ 。

因此，正确答案为 B。

Successive hand-overlaps are $\frac{720}{11}$ real minutes apart, while this slow clock displays $69$ minutes between them. Thus $12$ displayed hours correspond to $759$ real minutes, since $11\cdot69=759=12\cdot60+39.$ Eight displayed hours therefore take $8$ hours $26$ minutes, so the overtime is $26$ minutes. At $\$6$ per hour, that pays $\$2.60.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

一个半径递减的无限圆序列中，每个圆都与下一个圆外切，并与一个给定直角的两边相切。第一个圆的面积与序列中其余所有圆的面积之和的比为：

Each circle in an infinite sequence with decreasing radii is tangent externally to the one following it and to both sides of a given right angle. The ratio of the area of the first circle to the sum of the areas of all the other circles in the sequence is:

$(4+3\sqrt2):4$

$9\sqrt2:2$

$(16+12\sqrt2):1$

$(2+2\sqrt2):1$

$(3+2\sqrt2):1$

知识点：相切圆等比数列面积比根式

难度评级：2380

小提示：

各圆圆心都在角平分线上；求相邻两圆半径之比

The centers lie on the angle bisector; find the ratio of consecutive radii

大提示：

半径之比为 $3-2\sqrt2$ ，所以面积之比是它的平方

The radius ratio is $3-2\sqrt2$ , so the area ratio is its square

解答：

设相邻两圆半径为 $r\gt r'$ ，则它们的圆心位于角平分线上，距顶点分别为 $r\sqrt2$ 和 $r'\sqrt2$ 。外切条件给出 $\sqrt2(r-r')=r+r'\text{，}$ 所以 $\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2$ 。相邻两圆的面积比为 $q=(3-2\sqrt2)^2\text{。}$ 因此，第一个圆的面积除以后续所有圆的面积之和为 $\begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 C。

If consecutive radii are $r\gt r',$ their centers lie on the angle bisector at distances $r\sqrt2$ and $r'\sqrt2$ from the vertex. External tangency gives $\sqrt2(r-r')=r+r',$ so $\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2.$ The ratio of successive areas is $q=(3-2\sqrt2)^2.$ Therefore the first area divided by the sum of all later areas is $\begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.