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1969 AMC 12 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

两个同心圆之间圆环的面积为 1212π12\dfrac12\pi 平方英寸。大圆中与小圆相切的弦长（单位：英寸）为：

The area of the ring between two concentric circles is 1212π12\dfrac12\pi square inches. The length of a chord of the larger circle tangent to the smaller circle, in inches, is:

52\dfrac5{\sqrt2}

55

525\sqrt2

1010

10210\sqrt2

答案：C
知识点：圆环弦勾股定理
难度评级：1670
小提示：

若两个半径为 RR、rr，则由面积可得 R2−r2=252R^2-r^2=\frac{25}{2}

If the radii are RR and r,r, the area gives R2−r2=252R^2-r^2=\frac{25}{2}

大提示：

相切弦的一半、小圆半径和大圆半径组成直角三角形

Half the tangent chord, the smaller radius, and the larger radius form a right triangle

解答：

设两个半径为 RR 与 rr。由圆环面积可得 π(R2−r2)=252π。 \pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi\text{。}过切点的半径平分该弦。若弦长为 LL，则 (L2)2+r2=R2。 \left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2\text{。}因此 L=2R2−r2L=2\sqrt{R^2-r^2}，所以 L=2252=52L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2。

因此，正确答案是 C。

Let the radii be RR and r.r. The ring area gives π(R2−r2)=252π. \pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi. The radius to the tangent point bisects the chord. If its length is L,L, then (L2)2+r2=R2. \left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2. Thus L=2R2−r2,L=2\sqrt{R^2-r^2}, so L=2252=52.L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.

Therefore, the correct answer is C.

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