Question

回文数，例如 $83438$ ，是一个数字反过来读仍相同的数。数 $x$ 和 $x + 32$ 分别是三位数和四位数回文数。 $x$ 的各位数字之和是多少？

A palindrome, such as $83438,$ is a number that remains the same when its digits are reversed. The numbers $x$ and $x + 32$ are three-digit and four-digit palindromes, respectively. What is the sum of the digits of $x?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：E

知识点：回文数数字极限情形界定

难度评级：1280

小提示：

将四位回文数限制在 $1000$ 到 $1031$ 之间。

Bound the four-digit palindrome between $1000$ and $1031$

大提示：

找出该区间内唯一的回文数，再减去 $32$ 。

Find the only palindrome in that interval, then subtract $32$

解答：

因为 $x$ 至多为 $999$ ，所以 $x + 32$ 至多为 $1031$ 。

同时 $x + 32$ 至少为 $1000$ 。

这个范围内唯一的回文数是 $1001$ ，所以 $x + 32$ 等于这个数。

于是 $x=1001-32=969$ ，它的各位数字之和为 $9+6+9=24$ 。

所以正确答案是 E。

Note that $x$ is at most $999.$ This means that $x + 32$ has a maximum of $1031.$

Similarly, we have that the minimum value of $x + 32$ is $1000.$

The only palindrome in this range is $1001,$ so this is what $x + 32$ equals.

Thus $x=1001-32=969,$ whose digit sum is $9+6+9=24.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 6 题

答案：E

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题