Question

对正实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}$ ，则

For positive real numbers $x$ and $y$ define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ then

运算“ $*$ ”满足交换律，但不满足结合律

“ $*$ ” is commutative but not associative

运算“ $*$ ”满足结合律，但不满足交换律

“ $*$ ” is associative but not commutative

运算“ $*$ ”既不满足交换律，也不满足结合律

“ $*$ ” is neither commutative nor associative

运算“ $*$ ”既满足交换律，也满足结合律

“ $*$ ” is commutative and associative

以上皆非

none of these

答案：D

知识点：自定义运算分数

难度评级：1740

小提示：

交换 $x$ 与 $y$ 后，公式显然不变

The formula is visibly unchanged when $x$ and $y$ are interchanged

大提示：

用倒数改写该运算： $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Rewrite the operation through its reciprocal: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

解答：

公式关于 $x$ 、 $y$ 对称，因此该运算满足交换律。此外， $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y\text{。}$ 所以 $(x*y)*z$ 和 $x*(y*z)$ 的倒数都是 $\frac1x+\frac1y+\frac1z$ ，故两者相等。该运算也满足结合律。

因此，正确答案是 D。

Symmetry in $x,$ $y$ makes the operation commutative. Also, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Thus both $(x*y)*z$ and $x*(y*z)$ have reciprocal $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 第 6 题

答案：D

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题