1972 AMC 12 第 6 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1972 AMC 12 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

若 $3^{2x}+9=10(3^x)$ ，则 $x^2+1$ 的值是：

If $3^{2x}+9=10(3^x),$ then the value of $x^2+1$ is:

只有 $1$

$1$ only

只有 $5$

$5$ only

$1$ 或 $5$

$1$ or $5$

$2$

$10$

答案：C

知识点：指数二次方程换元法因式分解

难度评级：1620

小提示：

令 $u=3^x$

Set $u=3^x$

大提示：

分解 $u^2-10u+9$ ，再由每个正根求回 $x$

Factor $u^2-10u+9$ and convert each positive root back to $x$

解答：

令 $u=3^x$ 。则 $\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $x=0$ 或 $x=2$ ，所以 $x^2+1$ 分别为 $1$ 或 $5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $u=3^x.$ Then $\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0. \end{aligned}$ Thus $x=0$ or $x=2,$ so $x^2+1$ is respectively $1$ or $5.$

Therefore, the correct answer is C.

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