1972 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

四个三角形 $\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 、 $\mathrm{III}$ 和 $\mathrm{IV}$ 的三边长度（单位：英寸）如下： $\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}$ 其中仅有的直角三角形是：

The lengths in inches of the three sides of each of four triangles $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ $\mathrm{III},$ and $\mathrm{IV}$ are as follows: $\begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned}$ Of these four given triangles, the only right triangles are:

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{IV}$

知识点：勾股定理直角三角形系统列举

难度评级：1180

小提示：

对每个三角形，比较最长边的平方与另外两边平方和

Compare the square of each longest side with the sum of the squares of the other two sides

大提示：

比较前，先消去三角形 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{IV}$ 边长中的分母

Clear the halves in triangles $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ before comparing

解答：

对于三角形 $\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$ ，相应等式为 $\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2 \end{aligned}\text{。}$ 对于 $\mathrm{IV}$ ， $\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4} \end{aligned}\text{。}$ 两个值并不相等。因此，恰有 $\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$ 是直角三角形。

因此，正确答案是 D。

For triangles $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III},$ the relevant equalities are $\begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned}$ For $\mathrm{IV},$ $\begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned}$ These values are unequal. Thus precisely $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ and $\mathrm{III}$ are right triangles.

Therefore, the correct answer is D.

2.

若一名经销商能把进货成本降低 $8\%$ ，同时保持售价不变，那么按成本计算的利润率会从目前的 $x\%$ 提高到 $(x+10)\%$ 。则目前的利润率是：

If a dealer could get his goods for $8\%$ less while keeping his selling price fixed, his profit, based on cost, would be increased to $(x+10)\%$ from his present profit of $x\%,$ which is:

$12\%$

$15\%$

$30\%$

$50\%$

$75\%$

知识点：百分数钱币一次方程

难度评级：1380

小提示：

设目前的成本为 $C$ ，用两种方式表示同一个售价

Let the present cost be $C$ and express the same selling price in two ways

大提示：

降低后的成本为 $0.92C$ ，相应利润率为 $(x+10)\%$

The reduced cost is $0.92C$ and its profit rate is $(x+10)\%$

解答：

由售价保持不变可得 $\begin{aligned} 1+0.01x&=0.92\\ &\quad+0.0092(x+10) \end{aligned}\text{。}$ 化简得 $1+0.01x=1.012+0.0092x\text{，}$ 所以 $0.0008x=0.012$ ，且 $x=15$ 。

因此，正确答案是 B。

The fixed selling price gives $\begin{aligned} 1+0.01x&=0.92\\ &\quad+0.0092(x+10). \end{aligned}$ Simplifying yields $1+0.01x=1.012+0.0092x,$ so $0.0008x=0.012$ and $x=15.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

若 $x=\dfrac{1-i\sqrt3}{2}$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ ，则 $\dfrac{1}{x^2-x}$ 等于：

If $x=\dfrac{1-i\sqrt3}{2},$ where $i=\sqrt{-1},$ then $\dfrac{1}{x^2-x}$ is equal to:

$-2$

$-1$

$1+i\sqrt3$

$1$

$2$

知识点：复数二次方程代数变形

难度评级：1690

小提示：

先求出 $x^2-x$ ，再取倒数

Compute $x^2-x$ before taking the reciprocal

大提示：

数 $x$ 满足 $x^2-x+1=0$

The number $x$ satisfies $x^2-x+1=0$

解答：

直接计算， $\begin{aligned} x^2-x &=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^2\\ &\quad-\frac{1-i\sqrt3}{2}\\ &=-1 \end{aligned}\text{。}$ 因此它的倒数也是 $-1$ 。

因此，正确答案是 B。

Directly, $\begin{aligned} x^2-x &=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^2\\ &\quad-\frac{1-i\sqrt3}{2}\\ &=-1. \end{aligned}$ Its reciprocal is therefore also $-1.$

Therefore, the correct answer is B.

4.

设 $X$ 是 $\{1,2,3,4,5\}$ 的子集。满足 $\{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\}$ 的这类集合共有：

The number of solutions to $\{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\},$ where $X$ is a subset of $\{1,2,3,4,5\},$ is:

$2$

$4$

$6$

$8$

以上皆非

None of these

知识点：子集乘法原理

难度评级：1310

小提示：

元素 $1$ 和 $2$ 必须包含在集合中

The elements $1$ and $2$ are forced

大提示：

$3,4,5$ 中每个元素都可以独立选择是否放入集合

Each of $3,4,5$ may independently be included or omitted

解答：

每个符合条件的 $X$ 都包含 $1,2$ ，而 $3,4,5$ 中的每个元素都可独立选择。因此共有 $2^3=8$ 个可能的集合。

因此，正确答案是 D。

Every valid $X$ contains $1,2,$ while each of $3,4,5$ may be chosen independently. Hence there are $2^3=8$ possible sets.

Therefore, the correct answer is D.

5.

在 $2^{\frac{1}{2}}$ 、 $3^{\frac{1}{3}}$ 、 $8^{\frac{1}{8}}$ 、 $9^{\frac{1}{9}}$ 中，数值最大和第二大的数依次是：

From among $2^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}},$ those which have the greatest and the next to the greatest values, in that order, are:

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $2^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $2^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $8^{\frac{1}{8}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}}$

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $9^{\frac{1}{9}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

$8^{\frac{1}{8}}$ ， $9^{\frac{1}{9}}$

$8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

以上皆非

None of these

知识点：指数不等式代数变形

难度评级：1740

小提示：

把两个正数提升到同一个幂次来比较

Compare two roots by raising both positive numbers to a common power

大提示：

先比较 $3^{\frac{1}{3}}$ 与 $2^{\frac{1}{2}}$ ，再把 $2^{\frac{1}{2}}$ 与其余各数比较

First compare $3^{\frac{1}{3}}$ with $2^{\frac{1}{2}}$ , then compare $2^{\frac{1}{2}}$ with each remaining number

解答：

取便于比较的相同幂次，可得 $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6\text{，}$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8\text{，}$ 以及 $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}\text{。}$ 因此， $3^{\frac{1}{3}}$ 最大， $2^{\frac{1}{2}}$ 第二大。

因此，正确答案是 A。

Raising to convenient common powers gives $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,$ and $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.$ Thus $3^{\frac{1}{3}}$ is greatest and $2^{\frac{1}{2}}$ is next.

Therefore, the correct answer is A.

6.

若 $3^{2x}+9=10(3^x)$ ，则 $x^2+1$ 的值是：

If $3^{2x}+9=10(3^x),$ then the value of $x^2+1$ is:

只有 $1$

$1$ only

只有 $5$

$5$ only

$1$ 或 $5$

$1$ or $5$

$2$

$10$

知识点：指数二次方程换元法因式分解

难度评级：1620

小提示：

令 $u=3^x$

Set $u=3^x$

大提示：

分解 $u^2-10u+9$ ，再由每个正根求回 $x$

Factor $u^2-10u+9$ and convert each positive root back to $x$

解答：

令 $u=3^x$ 。则 $\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $x=0$ 或 $x=2$ ，所以 $x^2+1$ 分别为 $1$ 或 $5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $u=3^x.$ Then $\begin{aligned} u^2-10u+9&=(u-1)(u-9)\\ &=0. \end{aligned}$ Thus $x=0$ or $x=2,$ so $x^2+1$ is respectively $1$ or $5.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

若 $yz:zx:xy=1:2:3$ ，则 $\dfrac{x}{yz}:\dfrac{y}{zx}$ 等于：

If $yz:zx:xy=1:2:3,$ then $\dfrac{x}{yz}:\dfrac{y}{zx}$ is equal to:

$3{:}2$

$1{:}2$

$1{:}4$

$2{:}1$

$4{:}1$

知识点：比与比例分数代数变形

难度评级：1670

小提示：

化简所求比中两个分式的商

Simplify the quotient of the two fractions in the requested ratio

大提示：

由 $yz:zx=1:2$ 可得 $y:x=1:2$

From $yz:zx=1:2$ , obtain $y:x=1:2$

解答：

所求比的比值为 $\frac{\frac{x}{yz}}{\frac{y}{zx}}=\frac{x^2}{y^2}\text{。}$ 又因为 $yz:zx=y:x=1:2$ ，所以 $x:y=2:1$ 。因此 $x^2:y^2=4:1$ 。

因此，正确答案是 E。

The requested ratio has quotient $\frac{\frac{x}{yz}}{\frac{y}{zx}}=\frac{x^2}{y^2}.$ Also $yz:zx=y:x=1:2,$ so $x:y=2:1.$ Therefore $x^2:y^2=4:1.$

Therefore, the correct answer is E.

8.

若 $\lvert x-\log y\rvert=x+\log y$ ，其中 $x$ 和 $\log y$ 均为实数，则：

If $\lvert x-\log y\rvert=x+\log y,$ where $x$ and $\log y$ are real, then:

$x=0$

$y=1$

$x=0$ 且 $y=1$

$x=0$ and $y=1$

$x(y-1)=0$

以上皆非

None of these

知识点：绝对值对数分类讨论

难度评级：1740

小提示：

分别讨论 $x-\log y\ge0$ 和 $x-\log y\lt0$ 两种情形

Separate the cases $x-\log y\ge0$ and $x-\log y\lt0$

大提示：

一种情形推出 $\log y=0$ ，另一种情形推出 $x=0$

One case forces $\log y=0$ , while the other forces $x=0$

解答：

若 $x-\log y\ge0$ ，由原方程得 $\log y=0$ ，所以 $y=1$ 。若 $x-\log y\lt0$ ，则得 $x=0$ 。因此每个解都满足 $x=0$ 或 $y=1$ ，即 $x(y-1)=0\text{。}$

因此，正确答案是 D。

If $x-\log y\ge0,$ the equation gives $\log y=0,$ hence $y=1.$ If $x-\log y\lt0,$ it gives $x=0.$ Therefore every solution satisfies either $x=0$ or $y=1,$ which is expressed by $x(y-1)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

9.

Ann 和 Sue 买了相同的文具盒。Ann 每封信用 $1$ 张纸，Sue 每封信用 $3$ 张纸。Ann 用完所有信封后还剩 $50$ 张纸；Sue 用完所有纸后还剩 $50$ 个信封。每盒中的纸张数为：

Ann and Sue bought identical boxes of stationery. Ann used hers to write $1$ -sheet letters and Sue used hers to write $3$ -sheet letters. Ann used all the envelopes and had $50$ sheets of paper left, while Sue used all of the sheets of paper and had $50$ envelopes left. The number of sheets of paper in each box was:

$150$

$125$

$120$

$100$

$80$

知识点：方程组一次方程

难度评级：1290

小提示：

设每盒有 $S$ 张纸和 $E$ 个信封

Let $S$ and $E$ be the numbers of sheets and envelopes in a box

大提示：

由 Ann 的情形得 $S-E=50$ ，由 Sue 的情形得 $E-\frac{S}{3}=50$

Ann gives $S-E=50$ , while Sue gives $E-\frac{S}{3}=50$

解答：

设每盒有 $S$ 张纸和 $E$ 个信封。两人的使用情况给出 $S-E=50$ 和 $E-\frac S3=50$ 。两式相加得 $\frac{2S}{3}=100$ ，所以 $S=150$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $S$ and $E$ denote sheets and envelopes per box. The two accounts give $S-E=50$ and $E-\frac S3=50.$ Adding yields $\frac{2S}{3}=100,$ so $S=150.$

Therefore, the correct answer is A.

10.

对实数 $x$ ，不等式 $1\le\lvert x-2\rvert\le7$ 等价于：

For $x$ real, the inequality $1\le\lvert x-2\rvert\le7$ is equivalent to:

$x\le1$ 或 $x\ge3$

$x\le1$ or $x\ge3$

$1\le x\le3$

$-5\le x\le9$

$-5\le x\le1$ 或 $3\le x\le9$

$-5\le x\le1$ or $3\le x\le9$

$-6\le x\le1$ 或 $3\le x\le10$

$-6\le x\le1$ or $3\le x\le10$

知识点：绝对值不等式分类讨论

难度评级：1400

小提示：

上界表示 $x$ 与 $2$ 的距离不超过 $7$

The upper bound places $x$ within $7$ units of $2$

大提示：

下界排除了与 $2$ 距离小于 $1$ 的开区间

The lower bound removes the open interval of points less than $1$ unit from $2$

解答：

条件 $\lvert x-2\rvert\le7$ 给出 $-5\le x\le9$ 。条件 $\lvert x-2\rvert\ge1$ 给出 $x\le1$ 或 $x\ge3$ 。二者的交集为 $[-5,1]\cup[3,9]\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The condition $\lvert x-2\rvert\le7$ gives $-5\le x\le9.$ The condition $\lvert x-2\rvert\ge1$ gives $x\le1$ or $x\ge3.$ Their intersection is $[-5,1]\cup[3,9].$

Therefore, the correct answer is D.

11.

下列方程组 $\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}$ 有实数公共解时， $y$ 的可能值为：

The value(s) of $y$ for which the following pair of equations $\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}$ may have a real common solution, are:

只有 $4$

$4$ only

$-7$ ， $4$

$-7,$ $4$

$0$ ， $4$

$0,$ $4$

不存在这样的 $y$

no $y$

所有 $y$

all $y$

知识点：方程组二次方程换元法

难度评级：1740

小提示：

消去两个方程中的 $x^2$

Eliminate $x^2$ between the equations

大提示：

找出两个候选的 $y$ 值后，检查相应的 $x^2$ 是否非负

After finding the two candidate $y$ -values, check whether the corresponding $x^2$ is nonnegative

解答：

由第二个方程得 $x^2=3y-12$ 。代入第一个方程，得 $\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 若 $y=4$ ，则 $x=0$ 。若 $y=-7$ ，则 $x^2=-33$ ，不存在实数 $x$ 。因此只有 $y=4$ 可行。

因此，正确答案是 A。

From the second equation, $x^2=3y-12.$ Substitution into the first gives $\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0. \end{aligned}$ If $y=4,$ then $x=0.$ If $y=-7,$ then $x^2=-33,$ so no real $x$ exists. Thus only $y=4$ is possible.

Therefore, the correct answer is A.

12.

一个立方体的体积以立方英尺计时的数值，等于其表面积以平方英寸计时的数值。该立方体棱长以英尺计时的数值为：

The number of cubic feet in the volume of a cube is the same as the number of square inches in its surface area. The length of the edge expressed as a number of feet is:

$6$

$864$

$1728$

$6\times1728$

$2304$

知识点：正方体表面积体积单位换算

难度评级：1790

小提示：

若棱长为 $f$ 英尺，则以英寸计为 $12f$

If the edge is $f$ feet, its length in inches is $12f$

大提示：

令数值 $f^3$ 与 $6(12f)^2$ 相等

Equate the numerical values $f^3$ and $6(12f)^2$

解答：

设棱长为 $f$ 英尺，即 $12f$ 英寸。题述的数值相等关系为 $f^3=6(12f)^2\text{。}$ 因为 $f\gt0$ ，两边除以 $f^2$ 得 $f=6\cdot144=864\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the edge length be $f$ feet, or $12f$ inches. The stated numerical equality is $f^3=6(12f)^2.$ Since $f\gt0,$ division by $f^2$ gives $f=6\cdot144=864.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

在边长为 $12$ 英寸的正方形 $ABCD$ 中，连接线段 $AE$ ，其中 $E$ 是边 $DC$ 上距 $D$ 为 $5$ 英寸的点。作 $AE$ 的垂直平分线，它依次与 $AE$ 、 $AD$ 和 $BC$ 相交于 $M$ 、 $P$ 和 $Q$ 。线段 $PM$ 与 $MQ$ 的比为：

Inside square $ABCD$ with sides of length $12$ inches, segment $AE$ is drawn, where $E$ is the point on $DC$ which is $5$ inches from $D.$ The perpendicular bisector of $AE$ is drawn and intersects $AE,$ $AD,$ and $BC$ at points $M,$ $P,$ and $Q,$ respectively. The ratio of segment $PM$ to $MQ$ is:

$5{:}12$

$5{:}13$

$5{:}19$

$1{:}4$

$5{:}21$

知识点：正方形（几何）中点垂直平分线相似

难度评级：1950

小提示：

过 $M$ 作一条平行于 $AB$ 的直线

Draw through $M$ a line parallel to $AB$

大提示：

$M$ 到 $AD$ 和 $BC$ 的水平距离分别为 $\frac{5}{2}$ 和 $\frac{19}{2}$

The horizontal distances from $M$ to $AD$ and $BC$ are $\frac{5}{2}$ and $\frac{19}{2}$

解答：

因为 $M$ 是 $AE$ 的中点，所以它到 $AD$ 的水平距离为 $\frac{5}{2}$ 。它到 $BC$ 的距离为 $12-\frac52=\frac{19}{2}\text{。}$ 过 $M$ 的水平线在直线 $PQ$ 两侧截出的两个直角三角形相似，因此它们的斜边之比等于相应水平直角边之比： $PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Because $M$ is the midpoint of $AE,$ its horizontal distance from $AD$ is $\frac{5}{2}.$ Its distance from $BC$ is $12-\frac52=\frac{19}{2}.$ The two right triangles cut from line $PQ$ by the horizontal through $M$ are similar, so their hypotenuses are in the ratio of these horizontal legs: $PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.$

Therefore, the correct answer is C.

14.

一个三角形有两个角分别为 $30^\circ$ 和 $45^\circ$ 。若 $45^\circ$ 角所对的边长为 $8$ ，则 $30^\circ$ 角所对的边长为：

A triangle has angles of $30^\circ$ and $45^\circ.$ If the side opposite the $45^\circ$ angle has length $8,$ then the side opposite the $30^\circ$ angle has length:

$4$

$4\sqrt2$

$4\sqrt3$

$4\sqrt6$

$6$

知识点：正弦定理三角学

难度评级：1530

小提示：

用正弦定理联系这两条边

Relate the two sides with the Law of Sines

大提示：

使用 $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ 和 $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$

Use $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$ and $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$

解答：

设 $30^\circ$ 角所对的边长为 $s$ ，由正弦定理得 $\frac{s}{\sin30^\circ}=\frac8{\sin45^\circ}\text{。}$ 因此 $s=8\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2\text{。}$

因此，正确答案是 B。

If $s$ is the side opposite $30^\circ,$ the Law of Sines gives $\frac{s}{\sin30^\circ}=\frac8{\sin45^\circ}.$ Therefore $s=8\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is B.

15.

一名承包商估计，两名砌砖工中一人砌完某面墙需要 $9$ 小时，另一人需要 $10$ 小时。但他根据经验知道，两人一起工作时，合计效率会每小时减少 $10$ 块砖。由于赶时间，他让两人共同施工，发现恰好 $5$ 小时砌完。这面墙共有多少块砖：

A contractor estimated that one of his two bricklayers would take $9$ hours to build a certain wall and the other $10$ hours. However, he knew from experience that when they worked together, their combined output fell by $10$ bricks per hour. Being in a hurry, he put both men on the job and found that it took exactly $5$ hours to build the wall. The number of bricks in the wall was:

$500$

$550$

$900$

$950$

$960$

知识点：速率一次方程

难度评级：1790

小提示：

设墙中砖的总数为 $N$

Let $N$ be the number of bricks in the wall

大提示：

两人的实际合计每小时效率为 $\frac{N}{9}+\frac{N}{10}-10$

Their actual combined hourly rate is $\frac{N}{9}+\frac{N}{10}-10$

解答：

若墙中有 $N$ 块砖，两人的单独效率分别为 $\frac{N}{9}$ 和 $\frac{N}{10}$ 。因此 $5\left(\frac N9+\frac N{10}-10\right)=N\text{。}$ 两边乘以 $18$ 并化简，得 $19N-900=18N$ ，故 $N=900$ 。

因此，正确答案是 C。

If the wall contains $N$ bricks, the individual rates are $\frac{N}{9}$ and $\frac{N}{10}.$ Thus $5\left(\frac N9+\frac N{10}-10\right)=N.$ Multiplying by $18$ and simplifying gives $19N-900=18N,$ hence $N=900.$

Therefore, the correct answer is C.

16.

在 $3$ 与 $9$ 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列。这两个正数之和为：

There are two positive numbers that may be inserted between $3$ and $9$ such that the first three are in geometric progression while the last three are in arithmetic progression. The sum of those two positive numbers is:

$13\frac12$

$11\frac14$

$10\frac12$

$10$

$9\frac12$

知识点：等比数列等差数列方程组二次方程

难度评级：1930

小提示：

依次把插入的两个数记为 $x$ 和 $y$

Call the inserted numbers $x$ and $y,$ in that order

大提示：

使用 $x^2=3y$ 和 $2y=x+9$

Use $x^2=3y$ and $2y=x+9$

解答：

由数列条件得 $x^2=3y$ 和 $2y=x+9$ 。消去 $y$ ，得 $\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}$ 由正数条件得 $x=\frac{9}{2}$ ，进而 $y=\frac{27}{4}$ 。两数之和为 $\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The progression conditions give $x^2=3y$ and $2y=x+9.$ Eliminating $y$ yields $\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0. \end{aligned}$ Positivity gives $x=\frac{9}{2},$ and then $y=\frac{27}{4}.$ Their sum is $\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

在一根绳子上随机选一点将其剪成两段。较长的一段至少是较短一段的 $x$ 倍的概率为：

A piece of string is cut in two at a point selected at random. The probability that the longer piece is at least $x$ times as large as the shorter piece is:

$\dfrac12$

$\dfrac2x$

$\dfrac1{x+1}$

$\dfrac1x$

$\dfrac2{x+1}$

知识点：几何概率比与比例不等式

难度评级：1740

小提示：

将绳长归一化为 $1$ ，并设剪切点距某一端为 $t$

Normalize the string length to $1$ and let the cut be $t$ units from one end

大提示：

对靠近任一端的区间，求解 $1-t\ge xt$

Near either endpoint, solve $1-t\ge xt$

解答：

令绳长为 $1$ 。在靠近一端的区间内，条件为 $1-t\ge xt\text{，}$ 所以 $t\le\frac{1}{x+1}$ 。另一端也有同样长度的区间。两区间总长度即所求概率，为 $\frac2{x+1}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Take the string to have length $1.$ Near one endpoint, the condition is $1-t\ge xt,$ so $t\le\frac{1}{x+1}.$ The same interval occurs at the other endpoint. Their total length, hence the probability, is $\frac2{x+1}.$

Therefore, the correct answer is E.

18.

梯形 $ABCD$ 的底边 $AB$ 长度是底边 $DC$ 的两倍， $E$ 为两条对角线的交点。若对角线 $AC$ 的长度为 $11$ ，则线段 $EC$ 的长度等于：

Let $ABCD$ be a trapezoid with the measure of base $AB$ twice that of base $DC,$ and let $E$ be the point of intersection of the diagonals. If the measure of diagonal $AC$ is $11,$ then that of segment $EC$ is equal to:

$3\frac23$

$3\frac34$

$4$

$3\frac12$

$3$

知识点：梯形相似比与比例

难度评级：1500

小提示：

三角形 $ABE$ 与 $CDE$ 相似

Triangles $ABE$ and $CDE$ are similar

大提示：

底边之比 $AB:DC=2:1$ 也等于 $AE:EC$

The base ratio $AB:DC=2:1$ also equals $AE:EC$

解答：

因为 $AB\parallel DC$ ，所以三角形 $ABE$ 与 $CDE$ 相似。因此 $AE:EC=AB:DC=2:1\text{。}$ 从而 $AC=AE+EC=3EC=11$ ，所以 $EC=\frac{11}{3}=3\frac23\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Since $AB\parallel DC,$ triangles $ABE$ and $CDE$ are similar. Hence $AE:EC=AB:DC=2:1.$ Thus $AC=AE+EC=3EC=11,$ so $EC=\frac{11}{3}=3\frac23.$

Therefore, the correct answer is A.

19.

数列 $\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}$ 的前 $n$ 项之和用 $n$ 表示为：

The sum of the first $n$ terms of the sequence $\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}$ in terms of $n$ is:

$2^n$

$2^n-n$

$2^{n+1}-n$

$2^{n+1}-n-2$

$n\cdot2^n$

知识点：等比数列求和代数变形

难度评级：1790

小提示：

第 $k$ 个括号内的和为 $2^k-1$

The $k$ -th parenthesized sum is $2^k-1$

大提示：

求 $2^1-1$ 、 $2^2-1$ 、 $\ldots$ 和 $2^n-1$ 的和

Sum $2^1-1,$ $2^2-1,$ $\ldots,$ and $2^n-1$

解答：

第 $k$ 项是等比数列之和 $2^k-1$ 。因此所求总和为 $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The $k$ -th term is the geometric sum $2^k-1.$ Therefore the desired total is $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

20.

若 $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ ，其中 $a\gt b\gt0$ 且 $0^\circ\lt x\lt90^\circ$ ，则 $\sin x$ 等于：

If $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},$ where $a\gt b\gt0$ and $0^\circ\lt x\lt90^\circ,$ then $\sin x$ is equal to:

$\dfrac ab$

$\dfrac ba$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}$

$\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$

知识点：三角恒等式直角三角形勾股定理代数变形

难度评级：1850

小提示：

把正切看作两条直角边 $2ab$ 与 $a^2-b^2$ 的比

Model the tangent as the ratio of legs $2ab$ and $a^2-b^2$

大提示：

相应斜边可借助 $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$ 化简

The corresponding hypotenuse simplifies because $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$

解答：

取一个对边为 $2ab$ 、邻边为 $a^2-b^2$ 的直角三角形。其斜边为 $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Use a right triangle with opposite leg $2ab$ and adjacent leg $a^2-b^2.$ Its hypotenuse is $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}$ Hence $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.$

Therefore, the correct answer is E.

21.

若图中角 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，和 $F$ 的度数之和为 $90n$ ，则 $n$ 等于：

If the sum of the measures in degrees of angles $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ in the figure is $90n,$ then $n$ is equal to:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：角度和导角

难度评级：1910

小提示：

分别命名 $AD$ 与 $BF$ 、 $CE$ 的两个交点

Name the two intersections of $AD$ with $BF$ and $CE$

大提示：

合并中央四边形与其两侧三角形的内角和

Combine the angle sums of the central quadrilateral and the two triangles attached to it

解答：

令 $P=AD\cap BF$ ，且 $Q=AD\cap CE$ 。在四边形 $EFPQ$ 中， $E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ\text{。}$ 利用 $P$ 和 $Q$ 处的补角，三角形 $BPD$ 与 $AQC$ 分别给出 $B+D=\angle P$ 和 $A+C=\angle Q$ ，相加得 $\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $n=4$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $P=AD\cap BF$ and $Q=AD\cap CE.$ In quadrilateral $EFPQ,$ $E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ.$ The triangles $BPD$ and $AQC$ give $B+D=\angle P$ and $A+C=\angle Q,$ using the supplementary angles at $P$ and $Q.$ Adding yields $\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4. \end{gathered}$ Thus $n=4.$

Therefore, the correct answer is C.

22.

若 $a\pm bi$ $(b\ne0)$ 是方程 $x^3+qx+r=0$ 的虚根，其中 $a$ ， $b$ ， $q$ ，和 $r$ 均为实数，则用 $a$ 和 $b$ 表示的 $q$ 为：

If $a\pm bi$ $(b\ne0)$ are imaginary roots of the equation $x^3+qx+r=0,$ where $a,$ $b,$ $q,$ and $r$ are real numbers, then $q$ in terms of $a$ and $b$ is:

$a^2+b^2$

$2a^2-b^2$

$b^2-a^2$

$b^2-2a^2$

$b^2-3a^2$

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：2080

小提示：

共轭数 $a-bi$ 也是一个根

The conjugate $a-bi$ is another root

大提示：

因为 $x^2$ 项系数为零，先确定第三个根，再利用两两乘积之和

Because the $x^2$ coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

解答：

共轭根为 $a-bi$ 。因为三个根之和为 $0$ ，第三个根是 $-2a$ 。由韦达定理， $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The conjugate root is $a-bi.$ Since the sum of the three roots is $0,$ the third root is $-2a.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

23.

能包含图中由 $3$ 个单位正方形组成的对称图形的最小圆半径为：

The radius of the smallest circle containing the symmetric figure composed of $3$ unit squares shown is:

$\sqrt2$

$\sqrt{1.25}$

$1.25$

$\dfrac{5\sqrt{17}}{16}$

以上皆非

None of these

知识点：圆坐标几何对称性最优化

难度评级：2380

小提示：

利用对称性，把圆心放在图形的竖直对称轴上

By symmetry, place the circle’s center on the vertical axis of the figure

大提示：

令圆心到下方外角点与上方外角点的距离相等

Equate its distances to a lower outer corner and an upper outer corner

解答：

把底边中点置于 $O=(0,0)$ 。一个下方外角点为 $A=(1,0)$ ，一个上方外角点为 $B=(\frac{1}{2},2)$ 。由对称性，最小外接圆的圆心为 $P=(0,k)$ 。在最优位置，两类外角点都在圆上，所以 $1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2\text{。}$ 解得 $k=\frac{13}{16}$ 。因此 $\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Put the midpoint of the bottom edge at $O=(0,0).$ A lower outer corner is $A=(1,0),$ and an upper outer corner is $B=(\frac{1}{2},2).$ By symmetry the center of the smallest enclosing circle is $P=(0,k).$ At the optimum both types of outer corner lie on the circle, so $1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2.$ This gives $k=\frac{13}{16}.$ Hence $\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

24.

一个人以恒定速度步行了一段路。若他每小时快走 $\frac12$ 英里，所需时间将为原来的五分之四；若他每小时慢走 $\frac12$ 英里，则会多走 $2\frac12$ 小时。他步行的距离（英里）为：

A man walked a certain distance at a constant rate. If he had gone $\frac12$ mile per hour faster, he would have walked the distance in four-fifths of the time; if he had gone $\frac12$ mile per hour slower, he would have been $2\frac12$ hours longer on the road. The distance in miles he walked was:

$13\frac12$

$15$

$17\frac12$

$20$

$25$

知识点：路程、速度与时间方程组

难度评级：1930

小提示：

设实际速度和时间分别为 $v$ 和 $t$

Let the actual speed and time be $v$ and $t$

大提示：

先用 $vt=(v+\frac{1}{2})(\frac{4t}{5})$ 求出 $v$

First use $vt=(v+\frac{1}{2})(\frac{4t}{5})$ to determine $v$

解答：

设实际速度和时间为 $v$ 和 $t$ 。较快的情形给出 $vt=\left(v+\frac12\right)\frac{4t}{5}\text{，}$ 所以 $v=2$ 。较慢的情形于是给出 $2t=\frac32\left(t+\frac52\right)\text{，}$ 从而 $t=\frac{15}{2}$ 。步行距离为 $vt=2\cdot\frac{15}{2}=15\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the actual speed and time be $v$ and $t.$ The faster case gives $vt=\left(v+\frac12\right)\frac{4t}{5},$ so $v=2.$ The slower case then gives $2t=\frac32\left(t+\frac52\right),$ whence $t=\frac{15}{2}.$ The distance was $vt=2\cdot\frac{15}{2}=15.$

Therefore, the correct answer is B.

25.

一个圆内接四边形的四条边依次长为 $25$ ， $39$ ， $52$ ，和 $60$ 。该圆的直径长度为：

Inscribed in a circle is a quadrilateral having sides of lengths $25,$ $39,$ $52,$ and $60$ taken consecutively. The diameter of this circle has length:

$62$

$63$

$65$

$66$

$69$

知识点：圆内接四边形勾股数直角三角形

难度评级：2140

小提示：

在四条边长中找出两组勾股数的倍数

Notice two scaled Pythagorean triples among the four side lengths

大提示：

$25,60$ 这一对与 $39,52$ 这一对对应同一条可能的斜边

The $25,60$ pair and the $39,52$ pair share the same possible hypotenuse

解答：

可将连续四边标记为 $\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60 \end{gathered}\text{。}$ 因为 $25^2+60^2=65^2=39^2+52^2\text{，}$ 三角形 $ABD$ 与 $BCD$ 都是直角三角形，且有公共斜边 $BD=65$ 。二者拼成这个圆内接四边形，而直角三角形的斜边是其外接圆的直径。因此直径为 $65$ 。

因此，正确答案是 C。

The consecutive sides may be labeled $\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}$ Since $25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,$ triangles $ABD$ and $BCD$ are right triangles with common hypotenuse $BD=65.$ Their union is the cyclic quadrilateral, and a right triangle’s hypotenuse is a diameter of its circumcircle. Thus the diameter is $65.$

Therefore, the correct answer is C.

26.

在图示圆中， $M$ 是弧 $\overset{\frown}{CAB}$ 的中点，线段 $MP$ 在 $P$ 点垂直于弦 $AB$ 。若弦 $AC$ 的长度为 $x$ ，线段 $AP$ 的长度为 $x+1$ ，则线段 $PB$ 的长度等于：

In the circle shown, $M$ is the midpoint of arc $\overset{\frown}{CAB},$ and segment $MP$ is perpendicular to chord $AB$ at $P.$ If the measure of chord $AC$ is $x$ and that of segment $AP$ is $x+1,$ then segment $PB$ has measure equal to:

$3x+2$

$3x+1$

$2x+3$

$2x+2$

$2x+1$

知识点：弧弦矩形对称性

难度评级：2230

小提示：

在 $M$ 与 $B$ 之间取新点 $N$ ，使弧 $\overset{\frown}{MN}$ 等于弧 $\overset{\frown}{CA}$

Copy arc $\overset{\frown}{CA}$ to an arc $\overset{\frown}{MN}$ ending at a new point $N$ between $M$ and $B$

大提示：

作 $NQ\perp AB$ ；利用等弧找出一个矩形和相等的水平端线段

Drop $NQ\perp AB$ ; use equal arcs to identify a rectangle and equal horizontal end segments

解答：

在弧 $\overset{\frown}{MB}$ 上取点 $N$ ，使弧 $\overset{\frown}{MN}$ 与 $\overset{\frown}{CA}$ 相等，并作 $NQ\perp AB$ 。于是 $MN=AC=x$ 。其余两段等弧 $\overset{\frown}{AM}$ 与 $\overset{\frown}{NB}$ 在弦上的对应投影相等，所以 $QB=AP=x+1$ 。又因为 $MNPQ$ 是矩形，故 $PQ=MN=x$ 。因此 $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Choose $N$ on arc $\overset{\frown}{MB}$ so that arcs $\overset{\frown}{MN}$ and $\overset{\frown}{CA}$ are equal, and drop $NQ\perp AB.$ Then $MN=AC=x.$ The remaining equal arcs $\overset{\frown}{AM}$ and $\overset{\frown}{NB}$ give equal corresponding chord projections, so $QB=AP=x+1.$ Also $MNPQ$ is a rectangle, hence $PQ=MN=x.$ Therefore $\begin{aligned} PB&=PQ+QB\\ &=x+(x+1)\\ &=2x+1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

27.

若 $\triangle ABC$ 的面积为 $64$ 平方单位，边 $AB$ 与 $AC$ 的几何平均数（比例中项）为 $12$ 英寸，则 $\sin A$ 等于：

If the area of $\triangle ABC$ is $64$ square units and the geometric mean (mean proportional) between sides $AB$ and $AC$ is $12$ inches, then $\sin A$ is equal to:

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\dfrac35$

$\dfrac45$

$\dfrac89$

$\dfrac{15}{17}$

知识点：三角形面积三角学代数变形

难度评级：1470

小提示：

由几何平均数条件求出乘积 $AB\cdot AC$

The geometric-mean condition determines the product $AB\cdot AC$

大提示：

使用 $[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A$

Use $[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A$

解答：

几何平均数条件给出 $AB\cdot AC=12^2=144\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\sin A=\frac{8}{9}$ 。

因此，正确答案是 D。

The geometric-mean condition says $AB\cdot AC=12^2=144.$ Therefore $\begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned}$ so $\sin A=\frac{8}{9}.$

Therefore, the correct answer is D.

28.

将一个直径为 $D$ 的圆盘放在宽度为 $D$ 的 $8\times8$ 棋盘上，使二者中心重合。被圆盘完全覆盖的棋盘小方格数为：

A circular disc with diameter $D$ is placed on an $8\times8$ checkerboard with width $D$ so that the centers coincide. The number of checkerboard squares which are completely covered by the disc is:

$48$

$44$

$40$

$36$

$32$

知识点：圆距离公式基本计数

难度评级：2080

小提示：

与棋盘外边界相接的小方格都不可能被完全覆盖

No square touching the outside border can be completely covered

大提示：

在内部的 $6\times6$ 个小方格中，单独检查四个角上的方格

Among the $6\times6$ interior squares, test the four corner squares separately

解答：

边界上的 $28$ 个小方格没有被完全覆盖。考虑剩余的 $6\times6$ 内部网格，并以小方格边长为距离单位，则圆盘半径为 $4$ 。该内部网格的四个外角到中心的距离为 $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\gt4$ 所以四个角方格未被完全覆盖。其他每个内部方格都在圆盘内：其最远角点到中心的距离至多为 $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\lt4\text{。}$ 因此共有 $36-4=32$ 个方格被完全覆盖。

因此，正确答案是 E。

The $28$ border squares are not fully covered. Consider the remaining $6\times6$ interior grid and measure distances in square side lengths, so the disc has radius $4.$ The four outer corners of this interior grid are at distance $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\gt4$ from the center, so those four corner squares are not fully covered. Every other interior square lies within the disc: its farthest possible corner is at distance at most $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\lt4.$ Hence $36-4=32$ squares are completely covered.

Therefore, the correct answer is E.

29.

若当 $-1\lt x\lt1$ 时 $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ ，则用 $f(x)$ 表示的 $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ 为：

If $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ for $-1\lt x\lt1,$ then $f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)$ in terms of $f(x)$ is:

$-f(x)$

$2f(x)$

$3f(x)$

$[f(x)]^2$

$[f(x)]^3-f(x)$

知识点：对数函数因式分解换元法

难度评级：1860

小提示：

把这个有理式代入 $\frac{1+u}{1-u}$

Substitute the rational expression into $\frac{1+u}{1-u}$

大提示：

其分子和分母分别可分解为 $(1+x)^3$ 与 $(1-x)^3$

Its numerator and denominator factor as $(1+x)^3$ and $(1-x)^3$

解答：

令 $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}$ 。则 $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x)\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.$ Then $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Consequently $f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).$

Therefore, the correct answer is C.

30.

一张宽 $6$ 英寸的长方形纸按图折叠，使一个角落在对边上。用角 $\theta$ 表示的折痕 $L$ 长度（英寸）为：

A rectangular piece of paper $6$ inches wide is folded as in the diagram so that one corner touches the opposite side. The length in inches of the crease $L$ in terms of angle $\theta$ is:

$3\sec^2\theta\csc\theta$

$6\sin\theta\sec\theta$

$3\sec\theta\csc\theta$

$6\sec\theta\csc^2\theta$

以上皆非

None of these

知识点：折纸三角学直角三角形

难度评级：2270

小提示：

设长方形纸的高为 $h$ ，并利用折叠产生的相等长度

Let $h$ be the height of the rectangular sheet and use the equal lengths created by the fold

大提示：

由图可得 $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ 和 $\frac{L}{h}=\sec\theta$

The diagram gives $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ and $\frac{L}{h}=\sec\theta$

解答：

设纸张的高为 $h$ 。把折起的角关于折痕反射所产生的全等直角三角形给出 $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\text{，}$ 所以 $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}$ 。它们还给出 $\frac{L}{h}=\sec\theta$ 。因此 $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Let $h$ be the sheet’s height. The congruent right triangles created by reflecting the folded corner across the crease give $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,$ so $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.$ They also give $\frac{L}{h}=\sec\theta.$ Hence $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

31.

数 $2^{1000}$ 除以 $13$ 所得的余数为：

When the number $2^{1000}$ is divided by $13,$ the remainder in the division is:

$1$

$2$

$3$

$7$

$11$

知识点：模运算模幂运算

难度评级：1740

小提示：

使用 $2^6\equiv-1\pmod{13}$

Use $2^6\equiv-1\pmod{13}$

大提示：

写成 $1000=6\cdot166+4$

Write $1000=6\cdot166+4$

解答：

因为 $2^6=64\equiv-1\pmod{13}$ ， $\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since $2^6=64\equiv-1\pmod{13},$ $\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

32.

图示圆中的弦 $AB$ 和 $CD$ 在 $E$ 点垂直相交。若线段 $AE$ ， $EB$ ，和 $ED$ 的长度依次为 $2$ ， $6$ ，和 $3$ ，则该圆的直径长度为：

Chords $AB$ and $CD$ in the circle shown intersect at $E$ and are perpendicular to each other. If segments $AE,$ $EB,$ and $ED$ have measures $2,$ $6,$ and $3$ respectively, then the length of the diameter of the circle is:

$4\sqrt5$

$\sqrt{65}$

$2\sqrt{17}$

$3\sqrt7$

$6\sqrt2$

知识点：圆幂坐标几何距离公式圆

难度评级：1890

小提示：

先使用 $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

First use $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

大提示：

把 $E$ 置于原点；圆心位于两条弦的垂直平分线交点

Place $E$ at the origin; the center is at the intersection of the two chord perpendicular bisectors

解答：

由相交弦定理， $2\cdot6=CE\cdot3\text{，}$ 所以 $CE=4$ 。令 $E=(0,0)$ 、 $A=(-2,0)$ 、 $B=(6,0)$ 、 $C=(0,4)$ 且 $D=(0,-3)$ 。弦 $AB$ 与 $CD$ 的垂直平分线交于 $O=\left(2,\frac12\right)\text{。}$ 因此 $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4}\text{，}$ 直径为 $2r=\sqrt{65}$ 。

因此，正确答案是 B。

The intersecting-chords theorem gives $2\cdot6=CE\cdot3,$ so $CE=4.$ Put $E=(0,0),$ $A=(-2,0),$ $B=(6,0),$ $C=(0,4),$ and $D=(0,-3).$ The perpendicular bisectors of $AB$ and $CD$ meet at $O=\left(2,\frac12\right).$ Thus $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},$ and the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Therefore, the correct answer is B.

33.

一个由三个互不相同的非零数字组成的十进制数除以其各位数字之和，所得商的最小值为：

The minimum value of the quotient of a (base ten) number of three different nonzero digits divided by the sum of its digits is:

$9.7$

$10.1$

$10.5$

$10.9$

$20.5$

知识点：数字最优化不等式

难度评级：2140

小提示：

设百位、十位和个位数字分别为 $H$ 、 $T$ 和 $U$ ，考虑最大数字应放在哪一位

Let the hundreds, tens, and units digits be $H,$ $T,$ and $U,$ and consider which position should contain the largest digit

大提示：

取到最小值时 $U=9$ ；然后在数字互不相同且非零的条件下，使 $T$ 最大、 $H$ 最小

At a minimum $U=9$ ; then maximize $T$ and minimize $H$ subject to distinct nonzero digits

解答：

设这个商为 $Q$ 。则 $Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}\text{。}$ 若 $U$ 小于前两位中的某个数字，交换二者会使商减小，所以个位数字必须最大。因为这个商大于 $1$ ，增大个位数字会使商减小，故 $U=9$ 。此时 $\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}\text{。}$ 取最大的可用数字 $T=8$ ，再取最小的 $H=1$ ，即可使其最小。这个数是 $189$ ，并且 $\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let $Q$ denote the quotient. Then $Q=1+\frac{99H+9T}{H+T+U}.$ Interchanging $U$ with a larger digit in either earlier position decreases the quotient, so the units digit must be the largest. Increasing that units digit lowers a quotient greater than $1,$ so $U=9.$ Then $\frac{T+11H}{T+H+9} =1+\frac{10H-9}{T+H+9}.$ This is minimized by taking the largest available $T=8$ and then the smallest $H=1.$ The number is $189,$ and $\frac{189}{1+8+9}=\frac{189}{18}=10.5.$

Therefore, the correct answer is C.

34.

Dick 年龄的三倍加上 Tom 的年龄，等于 Harry 年龄的两倍。Harry 年龄立方的两倍，等于 Dick 年龄立方的三倍加上 Tom 年龄的立方。他们三人的年龄两两互质。三人年龄的平方和为：

Three times Dick’s age plus Tom’s age equals twice Harry’s age. Double the cube of Harry’s age is equal to three times the cube of Dick’s age added to the cube of Tom’s age. Their respective ages are relatively prime to each other. The sum of the squares of their ages is:

$42$

$46$

$122$

$290$

$326$

知识点：年龄问题立方和与立方差丢番图方程最大公约数

难度评级：2270

小提示：

设三人的年龄为 $D$ 、 $T$ 和 $H$ ，并把一次方程改写为 $2(H-D)=D+T$

Let the ages be $D,$ $T,$ and $H,$ and rewrite the linear equation as $2(H-D)=D+T$

大提示：

改写三次方程后，分别分解两个立方差

Factor both differences of cubes after rewriting the cubic equation

解答：

方程为 $\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3 \end{aligned}\text{。}$ 将它们改写为 $2(H-D)=D+T$ 和 $\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2) \end{gathered}\text{。}$ 约去相等的正因子，得 $\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $T=H+D$ 。一次方程进一步给出 $H=4D$ ，两两互质条件迫使 $(D,H,T)=(1,4,5)\text{。}$ 所求平方和为 $1^2+4^2+5^2=42$ 。

因此，正确答案是 A。

The equations are $\begin{aligned} 3D+T&=2H,\\ 2H^3&=3D^3+T^3. \end{aligned}$ Rewrite them as $2(H-D)=D+T$ and $\begin{gathered} 2(H-D)(H^2+HD+D^2)\\ =(D+T)\\ \qquad\cdot(D^2-DT+T^2). \end{gathered}$ Canceling the equal positive factors gives $\begin{aligned} H^2+HD+DT-T^2&=0,\\ (H+T)(H+D-T)&=0, \end{aligned}$ so $T=H+D.$ The linear equation then gives $H=4D,$ and pairwise relative primality forces $(D,H,T)=(1,4,5).$ The requested sum is $1^2+4^2+5^2=42.$

Therefore, the correct answer is A.

35.

边 $AB$ 长为 $2$ 英寸的等边三角形 $ABP$ 放在边长为 $4$ 英寸的正方形 $AXYZ$ 内，使 $B$ 位于边 $AX$ 上。三角形先绕 $B$ 顺时针旋转，再绕 $P$ 旋转，如此沿正方形各边滚动，直到 $P$ 、 $A$ 和 $B$ 都回到各自的初始位置。顶点 $P$ 所走路径的长度（英寸）为：

Equilateral triangle $ABP$ with side $AB$ of length $2$ inches is placed inside square $AXYZ$ with side of length $4$ inches so that $B$ is on side $AX.$ The triangle is rotated clockwise about $B,$ then $P,$ and so on along the sides of the square until $P,$ $A,$ and $B$ all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex $P$ is equal to:

$\dfrac{20\pi}{3}$

$\dfrac{32\pi}{3}$

$12\pi$

$\dfrac{40\pi}{3}$

$15\pi$

知识点：等边三角形变换弧过程模拟

难度评级：2450

小提示：

追踪绕正方形完成一圈八次转轴后的三角形方向

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

大提示：

共需三圈；按 $P$ 保持不动、沿 $120^\circ$ 圆弧移动或沿 $30^\circ$ 圆弧移动来分类各次转轴

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether $P$ is fixed or moves through a $120^\circ$ or $30^\circ$ arc

解答：

沿正方形完成一圈需要 $8$ 次转轴，并使三角形的方向改变一整圈的 $\frac{2}{3}$ 。因此，整个三角形恢复初始位置需要 $3$ 圈，即 $24$ 次转轴。其中有 $8$ 次绕 $P$ 旋转，所以 $P$ 不动。其余 $16$ 次中，八段圆弧所对圆心角为 $120^\circ$ ，另八段为 $30^\circ$ ，半径均为 $2$ 。因此路径总长为 $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

One circuit of the square uses $8$ pivots and changes the triangle’s orientation by $\frac{2}{3}$ of a full turn. Therefore $3$ circuits, or $24$ pivots, are required to restore the entire triangle. In $8$ of those pivots the rotation is about $P,$ so $P$ does not move. In the other $16,$ eight arcs subtend $120^\circ$ and eight subtend $30^\circ,$ all with radius $2.$ Hence the total path length is $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.