Question

若以 $b$ 为底时，数码串 $554$ 表示数码串 $24$ 在 $b$ 进制中所表示的数的平方，则把 $b$ 写成 $10$ 进制等于

If $554$ is the base $b$ representation of the square of the number whose base $b$ representation is $24,$ then $b,$ when written in base $10,$ equals

$6$

$8$

$12$

$14$

$16$

答案：C

知识点：进制二次方程位值

难度评级：1670

小提示：

将 $24_b$ 与 $554_b$ 转化为十进制的多项式表达式

Translate $24_b$ and $554_b$ into base-ten polynomial expressions

大提示：

解出所得二次方程后，注意含有数字 $5$ 的进位制底数必须大于 $5$

After solving the resulting quadratic, enforce that a base containing digit $5$ must exceed $5$

解答：

在十进制中， $\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0 \end{aligned}\text{。}$ 底数为正且必须大于 $5$ ，所以 $b=12$ 。

所以正确答案是 C。

In base ten, $\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}$ A base is positive and must exceed $5,$ so $b=12.$

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 6 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题