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1968 AMC 12 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

将凸四边形 ABCDABCD 的边 ADAD 过 DD 点延长，并将边 BCBC 过 CC 点延长，两延长线交于点 EE。设 SS 表示角 CDECDE 与角 DCEDCE 的度数之和，S′S' 表示角 BADBAD 与角 ABCABC 的度数之和。若 r=SS′r=\frac{S}{S'}，则：

Let side ADAD of convex quadrilateral ABCDABCD be extended through D,D, and let side BCBC be extended through C,C, to meet in point E.E. Let SS represent the degree-sum of angles CDECDE and DCE,DCE, and let S′S' represent the degree-sum of angles BADBAD and ABC.ABC. If r=SS′,r=\frac{S}{S'}, then:

有时 r=1r=1，有时 r>1r\gt1

r=1r=1 sometimes, r>1r\gt1 sometimes

有时 r=1r=1，有时 r<1r\lt1

r=1r=1 sometimes, r<1r\lt1 sometimes

0<r<10\lt r\lt1

r>1r\gt1

r=1r=1

答案：E
知识点：角度和导角
难度评级：1460
小提示：

用角 EE 表示这两个角度和

Express both sums using angle EE

大提示：

对三角形 ECDECD 和 EABEAB 使用内角和

Apply the triangle angle sum to ECDECD and EABEAB

解答：

在三角形 ECDECD 中，S=180∘−∠ES=180^\circ-\angle E。由于 DD 在 AEAE 上，CC 在 BEBE 上，由三角形 EABEAB 同样得到 S′=180∘−∠ES'=180^\circ-\angle E。因此 S=S′S=S'，且 r=1r=1。

因此，正确答案是 E。

In triangle ECD,ECD, S=180∘−∠E.S=180^\circ-\angle E. Since DD lies on AEAE and CC lies on BE,BE, triangle EABEAB gives S′=180∘−∠ES'=180^\circ-\angle E as well. Thus S=S′S=S' and r=1.r=1.

Therefore, the correct answer is E.

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