Question

对所有整数 $n \ge 9$ ，

$\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}$

的值总是下列哪一种？

For all integers $n \ge 9,$ the value of

$\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}$

is always which of the following?

$4$ 的倍数

a multiple of $4$

$10$ 的倍数

a multiple of $10$

质数

a prime number

完全平方数

a perfect square

完全立方数

a perfect cube

答案：D

知识点：阶乘因式分解完全平方数

难度评级：1270

小提示：

从分子中提出 $(n + 1)!$ 。

Factor $(n + 1)!$ out of the numerator

大提示：

$(n + 2)! - (n + 1)!$ $= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]$ $= (n + 1)!\,(n + 1)$ 。

$(n + 2)! - (n + 1)!$ $= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]$ $= (n + 1)!\,(n + 1)$

解答：

从分子中提出 $(n + 1)!$ ： $\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1) \end{gathered}\text{。}$

除以 $n!$ 后得 $\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}$ $= (n + 1)(n + 1)$ $= (n + 1)^2$ ，它总是完全平方数。

所以正确答案是 D。

Factor $(n + 1)!$ from the numerator: $\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}$

Dividing by $n!$ leaves $\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}$ $= (n + 1)(n + 1)$ $= (n + 1)^2,$ which is always a perfect square.

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B 第 6 题

答案：D

难度评级：1270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题