Question

正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m + 10 \lt n + 1$ ，并且集合 $\{m, m + 4, m + 10$ ， $n + 1$ ， $n + 2$ ， $2n\}$ 的平均数和中位数都等于 $n$ 。 $m + n$ 是多少？

For positive integers $m$ and $n$ such that $m + 10 \lt n + 1,$ both the mean and the median of the set $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ are equal to $n.$ What is $m + n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：B

知识点：平均数中位数（数据）方程组

难度评级：1350

小提示：

条件 $m + 10 \lt n + 1$ 迫使这六个数已经按递增顺序列出

The condition $m + 10 \lt n + 1$ forces the six values to be listed in increasing order

大提示：

令中位数 $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ ，再令平均数等于 $n$ ，然后解这两个方程

Set the median $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ and set the mean equal to $n,$ then solve the two equations

解答：

因为 $m + 10 \lt n + 1$ ，这六个数已经按递增顺序排列，所以中位数是中间两个数的平均： $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ ，得到 $m = n - 11$ 。平均数条件为 $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n\text{，}$ 因此 $7n - 16 = 6n$ ，得 $n = 16$ 。于是 $m = 5$ ，所以 $m + n = 21$ 。

所以正确答案是 B。

Because $m + 10 \lt n + 1,$ the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ giving $m = n - 11.$ The mean condition is $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ so $7n - 16 = 6n$ and $n = 16.$ Then $m = 5,$ and $m + n = 21.$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A 第 6 题

答案：B

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题