Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AC = BC = 7$ ， $AB = 2$ 。设 $D$ 是直线 $AB$ 上一点， $B$ 在 $A$ 与 $D$ 之间，且 $CD = 8$ 。 $BD$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ we have $AC = BC = 7$ and $AB = 2.$ Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD = 8.$ What is $BD?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

答案：A

知识点：等腰三角形高线勾股定理

难度评级：1350

小提示：

从 $C$ 向直线 $AB$ 作高；它交 $AB$ 于中点 $H$ 。

Drop the altitude from $C$ to line $AB$ ; it meets $AB$ at its midpoint $H$

大提示：

$CH^2 = 7^2 - 1^2$ ，且 $CD^2 = CH^2 + HD^2$ ，其中 $HD = 1 + BD$ 。

$CH^2 = 7^2 - 1^2,$ and $CD^2 = CH^2 + HD^2$ with $HD = 1 + BD$

解答：

设 $H$ 为从 $C$ 到直线 $AB$ 的垂足。由于 $\triangle ABC$ 中 $AC = BC$ ，所以 $H$ 是 $AB$ 的中点，从而 $AH = HB = 1$ 。

于是 $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48$ 。对 $\triangle CHD$ 应用勾股定理，其中 $HD = HB + BD = 1 + BD$ ，得 $8^2 = 48 + (1 + BD)^2\text{，}$ 从而 $(1 + BD)^2 = 16$ 。

于是由上式得 $1 + BD = 4$ ，所以 $BD = 3$ 。

所以正确答案是 A。

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to line $AB.$ Since $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC,$ $H$ is the midpoint of $AB,$ so $AH = HB = 1.$

Then $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$ Applying the Pythagorean Theorem to $\triangle CHD$ with $HD = HB + BD = 1 + BD$ gives $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ so $(1 + BD)^2 = 16.$

Therefore $1 + BD = 4,$ which means $BD = 3.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12B 第 6 题

答案：A

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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