Question

点 $A$ 和 $B$ 在 $y=\log_2 x$ 的图像上。线段 $\overline{AB}$ 的中点是 $(6,2)$ 。 $A$ 和 $B$ 的 $x$ 坐标的正差是多少？

Points $A$ and $B$ lie on the graph of $y=\log_2 x.$ The midpoint of $\overline{AB}$ is $(6,2).$ What is the positive difference between the $x$ -coordinates of $A$ and $B?$

$2\sqrt{11}$

$4\sqrt{3}$

$8$

$4\sqrt{5}$

$9$

答案：D

知识点：对数中点代数变形

难度评级：1350

小提示：

两个 $x$ 坐标之和为 $2\cdot 6=12$ 。

The $x$ -coordinates sum to $2\cdot 6=12$

大提示：

两个 $y$ 坐标的平均数是 $2$ ，所以 $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4$ ，从而 $x_1x_2=16$ 。

The $y$ -coordinates average to $2,$ so $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ giving $x_1x_2=16$

解答：

设两个 $x$ 坐标为 $x_1$ 和 $x_2$ 。由中点可得 $x_1+x_2=12$ ，由两个 $y$ 值的平均数可得 $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4$ ，所以 $x_1x_2=2^4=16$ 。

因此 $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let the $x$ -coordinates be $x_1$ and $x_2.$ The midpoint gives $x_1+x_2=12,$ and the average of the $y$ -values gives $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ so $x_1x_2=2^4=16.$

Then $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A 第 6 题

答案：D

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题