Question

一个电子显示屏把当前日期显示为一个 $8$ 位整数：先是 $4$ 位年份，再是 $2$ 位月份，最后是该月内的 $2$ 位日期。例如，今年的植树节显示为 $20230428$ 。在 $2023$ 年中，有多少个日期的 $8$ 位显示中每个数字都出现偶数次？

A digital display shows the current date as an $8$ -digit integer consisting of a $4$ -digit year, followed by a $2$ -digit month, followed by a $2$ -digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as $20230428.$ For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the $8$ -digit display for that date?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：E

知识点：数字奇偶性分类讨论

难度评级：1380

小提示：

固定年份 $2023$ 已经贡献了两个 $2$ 、一个 $0$ ，和一个 $3$ 。

The fixed year $2023$ already contributes two $2$ ’s, one $0,$ and one $3$

大提示：

月份和日期的四个数字必须使 $0$ 和 $3$ 的个数变为奇数， $2$ 的个数保持偶数，其他数字也保持偶数

The four month-day digits must make the counts of $0$ and $3$ odd, the count of $2$ even, and every other digit even

解答：

年份贡献数字 $2,0,2,3$ ，所以 $2$ 出现两次，而 $0$ 和 $3$ 各出现一次。为了让每个数字最终出现偶数次，月份和日期的四个数字必须提供奇数个 $0$ 、奇数个 $3$ ，以及偶数个其他每种数字。

只有四个数字可用，因此月份日期串必须恰好包含一个 $0$ 、一个 $3$ ，以及由某个数字组成的一对。检查合法月份和日期，得到九个日期： $01\text{-}13$ 、 $01\text{-}31$ 、 $02\text{-}23$ 、 $03\text{-}11$ 、 $03\text{-}22$ 、 $10\text{-}13$ 、 $10\text{-}31$ 、 $11\text{-}03$ 和 $11\text{-}30$ 。

所以正确答案是 E。

The year contributes the digits $2,0,2,3,$ so $2$ appears twice while $0$ and $3$ each appear once. For every digit to end up with an even count, the four digits of the month and day must supply an odd number of $0$ ’s, an odd number of $3$ ’s, and an even number of every other digit.

With only four digits available, the month-day string must use exactly one $0,$ one $3,$ and a repeated pair of some digit. Checking valid months and days leaves nine dates: $01\text{-}13,$ $01\text{-}31,$ $02\text{-}23,$ $03\text{-}11,$ $03\text{-}22,$ $10\text{-}13,$ $10\text{-}31,$ $11\text{-}03,$ and $11\text{-}30.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A 第 7 题

答案：E

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题