Question

若 $x$ 为实数，则 $(1-|x|)(1+x)$ 为正数的充要条件是

If $x$ is a real number, then the quantity $(1-|x|)(1+x)$ is positive if and only if

$|x|\lt1$

$x\lt1$

$|x|\gt1$

$x\lt-1$

$x\lt-1$ 或 $-1\lt x\lt1$

$x\lt-1$ or $-1\lt x\lt1$

答案：E

知识点：绝对值不等式分类讨论

难度评级：1570

小提示：

乘积为正数时，两个因子的符号相同

A product is positive when its two factors have the same sign

大提示：

分别考察由 $-1$ 和 $1$ 分出的各个区间

Analyze the intervals cut by $-1$ and $1$

解答：

两个因子同时为正恰好发生在 $|x|\lt1$ 时，此时 $-1\lt x\lt1$ 。两个因子同时为负需要 $|x|\gt1$ 且 $x\lt-1$ ，这化为 $x\lt-1$ 。两个端点都使乘积为零。

所以正确答案是 E。

Both factors are positive exactly when $|x|\lt1,$ giving $-1\lt x\lt1.$ Both are negative when $|x|\gt1$ and $x\lt-1,$ which reduces to $x\lt-1.$ The endpoints make the product zero.

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 第 7 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题