Question

下列乘积的值是多少？ $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27 \end{gathered}\text{？}$

What is the value of $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}$

$3$

$3\log_7 23$

$6$

$9$

$10$

答案：C

知识点：对数裂项相消

难度评级：1580

小提示：

使用换底公式 $\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$ 。

Apply the change-of-base formula $\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$

大提示：

分成两条逐项相消的链：底数 $3,7,11,\dots$ 与底数 $5,9,13,\dots$ 。

Separate into two telescoping chains: bases $3,7,11,\dots$ and bases $5,9,13,\dots$

解答：

这些因子可以分成两条逐项相消的链。奇数位置上的因子构成 $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3 \end{gathered}\text{，}$ 而偶数位置上的因子构成 $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2 \end{gathered}\text{。}$

这两条链的乘积为 $3\cdot2=6$ 。

所以正确答案是 C。

The factors split into two telescoping chains. The odd-position factors form $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}$ and the even-position factors form $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}$

The product is $3\cdot2=6.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 7 题

答案：C

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题