Question

在正整数上递归定义函数： $f(1)=2$ ，当 $n$ 为偶数时 $f(n)=f(n-1)+1$ ，当 $n$ 为大于 $1$ 的奇数时 $f(n)=f(n-2)+2$ 。 $f(2017)$ 是多少？

Define a function on the positive integers recursively by $f(1)=2,$ $f(n)=f(n-1)+1$ if $n$ is even, and $f(n)=f(n-2)+2$ if $n$ is odd and greater than $1.$ What is $f(2017)?$

$2017$

$2018$

$4034$

$4035$

$4036$

答案：B

知识点：递推找规律

难度评级：1380

小提示：

计算 $f(1),f(2),f(3),\ldots$ ，寻找规律

Compute $f(1),f(2),f(3),\ldots$ and look for a pattern

大提示：

验证 $f(n)=n+1$ 同时满足两条递推规则

Check that $f(n)=n+1$ satisfies both recursive rules

解答：

列出数值： $f(1)=2$ ， $f(2)=f(1)+1=3$ ， $f(3)=f(1)+2=4$ ， $f(4)=f(3)+1=5$ ，这说明可能有 $f(n)=n+1$ 。

两条规则都与 $f(n)=n+1$ 一致：当 $n$ 为偶数时， $(n-1)+1+1=n+1$ ；当 $n$ 为奇数时， $(n-2)+1+2=n+1$ 。由于递归唯一确定 $f$ ，所以 $f(2017)=2018$ 。

所以正确答案是 B。

Listing values: $f(1)=2,$ $f(2)=f(1)+1=3,$ $f(3)=f(1)+2=4,$ $f(4)=f(3)+1=5,$ suggesting $f(n)=n+1.$

Both rules are consistent with $f(n)=n+1:$ for even $n,$ $(n-1)+1+1=n+1,$ and for odd $n,$ $(n-2)+1+2=n+1.$ Since the recursion determines $f$ uniquely, $f(2017)=2018.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A 第 7 题

答案：B

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题