Question

一个等比数列的前三项为 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt[3]{3}$ 和 $\sqrt[6]{3}$ 。第四项是什么？

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt{3},$ $\sqrt[3]{3},$ and $\sqrt[6]{3}.$ What is the fourth term?

$1$

$\sqrt[7]{3}$

$\sqrt[8]{3}$

$\sqrt[9]{3}$

$\sqrt[10]{3}$

答案：A

知识点：等比数列指数

难度评级：1340

小提示：

把每一项写成 $3$ 的幂： $3^{\frac{1}{2}}$ 、 $3^{\frac{1}{3}}$ 、 $3^{\frac{1}{6}}$ 。

Rewrite each term as a power of $3$ : $3^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $3^{\frac{1}{6}}$

大提示：

公比为 $3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{6}}$ ；用第三项乘以它。

The common ratio is $3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{6}}$ ; multiply the third term by it

解答：

把各项写成 $3$ 的幂，前三项为 $3^{\frac{1}{2}}$ 、 $3^{\frac{1}{3}}$ 、 $3^{\frac{1}{6}}$ 。公比是 $\dfrac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{-\frac{1}{6}}$ 。

第四项为 $3^{\frac{1}{6}}\cdot3^{-\frac{1}{6}}=3^{0}=1$ 。

所以正确答案是 A。

Writing the terms as powers of $3,$ they are $3^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $3^{\frac{1}{6}}.$ The common ratio is $\dfrac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{-\frac{1}{6}}.$

The fourth term is $3^{\frac{1}{6}}\cdot3^{-\frac{1}{6}}=3^{0}=1.$

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A 第 7 题

答案：A

难度评级：1340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题