Question

正方形 $EFGH$ 在正方形 $ABCD$ 内，使得 $EFGH$ 的每一边延长后都经过 $ABCD$ 的一个顶点。正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{50}$ ， $E$ 在 $B$ 和 $H$ 之间，且 $BE = 1$ 。求内正方形 $EFGH$ 的面积。

Square $EFGH$ is inside square $ABCD$ so that each side of $EFGH$ can be extended to pass through a vertex of $ABCD.$ Square $ABCD$ has side length $\sqrt{50},$ $E$ is between $B$ and $H,$ and $BE = 1.$ What is the area of the inner square $EFGH?$

$25$

$32$

$36$

$40$

$42$

答案：C

知识点：正方形（几何）勾股定理全等（几何）

难度评级：1460

小提示：

由对称性，四个角上的直角三角形全等。

By symmetry the four corner triangles are congruent right triangles

大提示：

在直角三角形 $BCE$ 中，边 $CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}$ 。

In right triangle $BCE,$ the leg $CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}$

解答：

由图形对称性，三角形 $ABH$ 、三角形 $BCE$ 、三角形 $CDF$ 、三角形 $DAG$ 是全等直角三角形。于是 $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7 \end{aligned}\text{。}$

因为 $E$ 在 $B$ 与 $H$ 之间，内正方形边长为 $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6$ 。

$EFGH$ 的面积为 $6^2 = 36$ 。

所以正确答案是 C。

By the symmetry of the figure, triangles $ABH,$ $BCE,$ $CDF,$ and $DAG$ are congruent right triangles. Hence $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}$

Since $E$ lies between $B$ and $H,$ the side of the inner square is $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.$

Therefore the area of $EFGH$ is $6^2 = 36.$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A 第 7 题

答案：C

难度评级：1460

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题