Question

设 $A$ 、 $M$ 、 $C$ 为数字，且 $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005\text{。} \end{aligned}$ 求 $A$ 。

Let $A,$ $M,$ and $C$ be digits with $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}$ What is $A?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：质因数分解数字极限情形界定

难度评级：1350

小提示：

把 $2005$ 分解质因数。

Factor $2005$ into primes

大提示：

数字和 $A + M + C$ 至多为 $27$ ，这会确定它等于哪个因数。

The digit sum $A + M + C$ is at most $27,$ which pins down which factor it equals

解答：

因为 $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27$ ，且 $2005 = 5 \cdot 401$ ，所以数字和只能是 $1$ 或 $5$ 。它不能是 $1$ ，否则就有 $100A+10M+C=2005>999$ 。因此它只能是较小的那个非平凡因数： $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5 \end{aligned}\text{。}$

由第一式可直接读出 $A = 4$ 、 $M = 0$ 、 $C = 1$ 。

所以正确答案是 D。

Since $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,$ and $2005 = 5 \cdot 401,$ the digit sum can only be $1$ or $5.$ It cannot be $1,$ because then $100A+10M+C=2005>999.$ Thus it must be the smaller nontrivial factor: $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}$

Reading off the digits, $A = 4,$ $M = 0,$ and $C = 1.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A 第 8 题

答案：D

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题