Question

哪个 $x$ 值满足

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2\text{？}$

What value of $x$ satisfies

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?$

$25$

$32$

$36$

$42$

$48$

答案：C

知识点：对数

难度评级：1460

小提示：

分子分母同除以 $\log_2 x \cdot \log_3 x$ ，把左边化成 $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$ 。

Divide numerator and denominator by $\log_2 x \cdot \log_3 x$ to turn the left side into $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$

大提示：

因为 $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ 且 $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3$ ，方程变为 $\log_x 6 = \dfrac12$ 。

Since $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ and $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,$ the equation becomes $\log_x 6 = \dfrac12$

解答：

分子分母同除以 $\log_2 x \cdot \log_3 x$ ，左边变为 $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6} \end{gathered}\text{。}$ 因此 $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2$ ，即 $\log_x 6 = \dfrac12$ ，也就是 $x^{\frac{1}{2}} = 6$ 。

因此 $x = 36$ 。

所以正确答案是 C。

Dividing top and bottom by $\log_2 x \cdot \log_3 x,$ the left side becomes $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}$ So $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,$ meaning $\log_x 6 = \dfrac12,$ i.e. $x^{\frac{1}{2}} = 6.$

Therefore $x = 36.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 8 题

答案：C

难度评级：1460

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解答：

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